7.6.21. Присоединенные функции Лежандра.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (98). Подставив в него

получим

Положим тогда

Это гипергеометрическое уравнение Гаусса. Возьмем его второе решение (пример п. 6.2.10) в качестве определения присоединенной функции Лежандра первого рода. Имеем

при

при z, лежащем вне отрезка

Из вида уравнения (98) следует, что также является его решением. Если не целое число, то это решение линейно независимо от Предположим, что это так. Тогда общий интеграл (98) будет

В приложениях переменная z обычно вещественна и заключена между —1 и 4- 1; тогда можно положить, что

Дифференциальное уравнение (98) относительно новой переменной 6 имеет вид

Если значения близки к 0, то общий интеграл этого уравнения

будет близок к общему интегралу уравнения

равному

Если целое число, то решения линейно зависимы, так как эти функции связаны равенством

и выражение (147) уже не дает общего интеграла уравнения

Определим присоединенную функцию Лежандра второго рода как предел выражения

при стремящемся к целому числу. Легко заметить, что. введенная функция бесконечна на обоих концах промежутка Следовательно, не существует индексов, для которых уравнение (98) имеет конечное решение в промежутке

Можно также определить присоединенную функцию Лежандра второго рода при любых индексах с помощью разложения в ряд по убывающим степеням переменной.

Положим в уравнении Тогда оно принимает вид

Это уравнение гипергеометрического типа, допускающее в качестве частного решения следующее выражение, которое мы возьмем за определение присоединенной функции Лежандра второго рода при

Обычно условия регулярности, которым должны удовлетворять решения уравнения (98), автоматически выполняются при целых индексах Соответствующие функции имеют важное значение, и в дальнейшем мы будем рассматривать только такие функции.