7.6.31. Приложение функций Лежандра. Решение задачи об электромагнитных колебаниях сферического резонатора.
Предположим, что стенки сферы сделаны из абсолютно проводящего вещества. Введем сферическую систему координат. В этой системе 
Применим к рассматриваемой задаче способ Бромвича (см. п. 6.3.13). Если ограничиться синусоидальными функциями времени, т. е. функциями вида 
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
то 
будет решением уравнения
Положим
Тогда предыдущее уравнение принимает вид
Будем искать частное решение в виде произведения Лапласа
Подставим его в уравнение и затем разделим на 
Имеем
Отсюда вытекает
Решение этого уравнения должно иметь период 
Следовательно, 
(целое число) и
Далее,
Единственное решение этого уравнения, однозначное внутри сферы и конечное на оси 
дают присоединенные функции Лежандра первого рода, индексы которых — целые положительные числа. Поэтому нужно считать
Отсюда
Функция 
определяется из уравнения
единственным решением которого, конечным в центре сферы, будет
Если центр сферы исключен из области существования функции, то отбрасывать функцию 
не следует.
Искомое частное решение — функция 
равно
Формулы (88) и (89) п. 6.3.13 позволяют написать следующие выражения:
а) для поперечной магнитной волны 
-волна):
б) для поперечной электрической волны 
-волна):
Если обозначить радиус сферы через 
то граничные условия — равенство нулю тангенциальных составляющих электрического поля — имеют вид
Отсюда получаем условия для поперечных магнитных волн:
т. е.
Но так как, согласно (32),
то граничные условия принимают вид
Это уравнение дает для 
последовательность корней
Круговая частота возможных электрических колебаний внутри сферической полости будет зависеть от к и номера 
выбранного корня. Наиболее низкая круговая частота будет соответствовать 
Тогда предыдущее уравнение примет вид
Отсюда
Следовательно, в пустоте длина поперечной магнитной волны наиболее низкой частоты равна
Для электрических поперечных волн граничные условия дают
Из этого уравнения вытекает ряд допустимых значений 
Круговая частота электромагнитных колебаний зависит от 
и номера I выбранного корня. Наиболее низкая частота будет при 
При этом предыдущее уравнение принимает вид
откуда
Следовательно, в пустоте длина поперечной электрической волны наиболее низкой частоты равна
