7.6.4. Производящая функция полиномов Лежандра.

Пусть две точки, расположенные соответственно на расстоянии от начала координат О (рис. 7.40).

Рис. 7.40.

Расстояние равно т. е.

или

где через обозначается отношение при и отношение при . Следовательно, величина в обоих случаях меньше единицы. Ньютоновский потенциал в точке А, находящейся на расстоянии от начала координат, вызванный единичной массой, помещенной в точку на расстоянии от начала координат, выражается формулой

Разложим в ряд по возрастающим степеням Тогда коэффициент при дается разложением (105), в котором z заменено на т. е.

Это выражение оправдывает название коэффициентов Лежандра, данное полиномам

Итак, коэффициенты Лежандра входят в распределение ньютоновских потенциалов на шаре Они входят также в выражение для потенциала электрического диполя. В самом деле, пусть даны два

электрических заряда, равных по величине и противоположных по знаку, отстоящих друг от друга на расстоянии Потенциал в точке (рис. 7.41) равен,

Эта формула, согласно предыдущему расчету, может быть написана в виде

Предположим сначала, что тогда Так как в соответствии со своим индексом — функция четная или нечетная, то потенциал в окончательном виде равен

Для перехода к случаю достаточно в полученной формуле заменить на гобозначив через отношение

Рис. 7.41.

Функция называется производящей функцией полиномов Лежандра.

С помощью разложения в ряд Тейлора по при учитывая, что

и полагая находим

и, сравнив с выражением (106), получаем

Иногда может оказаться удобным разложить по косинусам углов, кратных . Для этого запишем производящую функцию в виде

Биномиальные ряды для обоих двучленов абсолютно сходятся. Поэтому искомое разложение можно получить непосредственным перемножением биномиальных рядов. Вычисления дают

7.6.5. Примеры полиномов Лежандра.

Если в выражениях (105) и (107) последовательно приравнять то найдем:

(см. скан)