4.1.40. Приближенное вычисление корней уравнения n-й степени.

Все предыдущие вычисления применимы без изменения к вычислению корня с наибольшим модулем уравнения

при условии, что удастся составить матрицу, имеющую в качестве характеристического многочлена функцию Докажем, что это всегда возможно Сопоставим с многочленом матрицу

и докажем, что представляет собой характеристический многочлен этой матрицы.

Действительно, характеристический многочлен матрицы а может быть записан в виде

Допустим, что такой определитель из строк и столбцов равен Тогда, разложив определитель по элементам первого столбца, получаем

или

т. е.

Так как правило очевидно при то оно имеет место для любого

Пример 1. Требуется решить уравнение

Тогда

Возьмем вектор Последовательным умножением получаем

Отношение дает решение уравнения второй степени, полученное после деления на , дает

Точные значения корней 10, 4, 2. Пример 2. Требуется решить уравнение

Тогда

Возьмем вектор и Последовательное умножение дает

Отсюда

Точные значения корней: Замечания. 1. В использованном методе ошибка при вычислениях не имеет большого значения: она просто отодвигает момент получения

искомого корня. Действительно, ошибка в произведении приводит к изменению вектора и, а так как он произволен, то это не сказывается на окончательном результате.

2. Приближенные методы, изложенные в п. 4.1.39 и 4.1.40, имеют своей основой теорему Сильвестра, выраженную формулой (12). Эта формула неверна, если имеется двойной корень характеристического уравнения. Однако, устремив друг к другу два корня легко показать, что приближенные методы не полностью изменяются при наличии двойного, а в более общем случае — кратного корня, если только он не является также корнем с наибольшим модулем . В этом случае мы можем вывести новую формулу для приближенного вычисления корней, но менее простую, чем предыдущие. Если кратный корень, то порядок кратности всех корней удобно свести к единице следующим способом.

У функций кратные корни общие. Последовательным делением мы можем найти их общий наибольший делитель:

Получение нулевого остатка показывает, что и есть общий наибольший делитель. Уравнение содержит все корни уравнения но при этом кратность корней уже будет равна единице.