6.3.8. Система сферических координат.

Если граничные условия для функции заданы на шаре с центром О или на конусе вращения с вершиной О, то следует перейти к системе сферических координат, описанной в п. 3.4.4 и изображенной на рис. 3.28. В этой системе уравнение (34) имеет вид

Будем искать решение в форме

После подстановки и деления на получим

Рассуждение, аналогичное рассуждению предыдущего пункта, приводит к

Отсюда (см. п. 7.5.36)

Не будем останавливаться на случае, когда правая часть уравнения (45) равна — Это привело бы нас к бесселевым функциям с мнимым индексом.

Если , т. е. если требуется найти произведение Лапласа как решение уравнения (33), то (45) принимает вид

Это уравнение Эйлера Имеем

Если точка О относится к области существования решения, то функции должны быть исключены из числа решений (46)

и (48). Функция подходит, так как а значит, произведение конечно при

Подставляя выражение для в уравнение ( получим

Так же как и в п. 6.3.7, заключаем, что

-Отсюда

Если в области существования решения угол может принимать значения, превышающие то должно быть целым числом (ср. п. 6.3.7). Исключение представляет собой задача для шара с полукруглой перегородкой. Подставляя в (49) формулу (50) при получим

Если отрицательная полуось входит в область существования решения, то единственным возможным решением будут функции (см. п. 7.6.22)

где целое число, связанное с соотношением Это условие ограничивает произвол в выборе . В частности, индекс бесселевых функций из (46) становится полуцелым, равным и

Если полная ось z входит в область существования решения, то следует исключить функции (см. п. 7.6.22). - Таким образом, произведение Лапласа будет

где функции в даются равенствами (46), (48), (50), (52).