9.2.13. Передача энергии стационарной линейной системой.

Для уточнения задачи рассмотрим конкретный пример. Прилагаем флуктуирующее напряжение на входе линейного усилителя. Тогда на выходе первого усиливающего каскада мы получим флуктуирующее напряжение на выходе второго каскада — флуктуирующее напряжение Энергетические свойства выражаются заданной корреляционной функцией или заданной спектральной плотностью Энергетические свойства определяются заданием или ; энергетические свойства заданием или Задача состоит в том, чтобы подробно проследить изменения энергетических свойств, т. е. в том, чтобы перейти от , а затем к При этом собственными флуктуациями усилителя мы пренебрегаем. Достаточно, очевидно, решить этот вопрос для одного каскада. Формулируя задачу в более общих терминах, можно сказать, что мы рассматриваем стационарнута случайную функцию и заставляем ее претерпеть линейное преобразование Требуется перейти от энергетических свойств функции (т. е. от ) к энергетическим свойствам функции (т. е. к ). Ранее мы указали все соотношения, которые при этом необходимо использовать. Однако представляется полезным придать последовательности соотношений более систематический вид и для этого расположить наиболее важные соотношения в виде схемы. Линейное преобразование можно определить через его частотную характеристику или через его ответ на единичный импульс. Полезно отметить, что в подобного рода энергетических задачах частотная характеристика входит только через ее модуль Нужные соотношения сведены в схему (на стр. 651).

Замечания. Для упрощения описанных выше расчетов полезно сделать несколько практических замечаний.

1. Корреляционные функции, вводимые в приложениях, стремятся всегда к нулю при больших значениях потому что стремятся стать взаимно независимыми. Можно сказать, что случайная функция обладает "статистической памятью", тем меньшей, чем быстрее стремится к нулю. Из соответствия, определяемого формулами (89), легко заметить, что при прочих равных условиях чем больше "статистическая память" явления, тем более ограничен его спектр частот. Возьмем для примера, энергетическое распределение, определяемое спектральной плотностью

Находим.

На рис. 9.1.7 представлены кривые и для больших значений (сплошные линии) и для малых значений (пунктир).

Вернемся к уравнению

(см. скан)

в более обшем виде и запишем как Меняя параметр мы сможем по своему произволу вытянуть или сжать вдоль оси времен кривую, представляющую корреляционную функцию.

Рис. 9.17.

Тогда, если обозначить через функцию относящуюся к значению предыдущее соотношение можно записать в виде

или

Видим, что с точностью до числового множителя функция зависит только от произведения Поэтому

Знаменатели соответствуют растяжению кривой А вдоль оси ординат. Если не обращать внимания на это явление, а учитывать только большее или меньшее растяжение вдоль оси частот, то можно заметить, что заставляя кривую растягиваться вдоль оси z, мы заставляем кривую в том же соотношении сжиматься вдоль оси частот. Случайная функция с большой статистической памятью имеет в большинстве случаев относительно узкий спектр, и наоборот.

2. Предположим, что на входе усилителя, характеризующегося своей реакцией на единичный импульс, приложено стационарное случайное напряжение второго порядка с корреляционной функцией Корреляционная функция на выходе будет Переход от одной к другой производится с помощью соотношения

Не затрагивая вопросов математической строгости, поясним, что именно происходит в двух предельных случаях.

1) Усилитель с большой постоянной времени. Более точно, рассмотрим усилитель, постоянная времени которого велика по сравнению со

статистической памятью функции Это означает, что существуют значения а такие, что весьма мало отличаются от хотя практически не отличается от или, лучше сказать, хотя мало отличается от При этом соотношение (98) дает (если не останавливаться на вопросе о сходимости)

Первый множитель — число, не зависящее от Только второй множитель определяет вид функции Итак, вид корреляционной функции на выходе определяется усилителем, так как от величины сигнала зависит только числовой коэффициент.

2) Усилитель с малой постоянной времени. Рассуждая так же, как и раньше, получим

В этом случае усилитель определяет только числовой множитель, а корреляционная функция на выходе имеет тот же вид, что и на входе. В обоих случаях то явление, в котором изменение происходит более медленно, определяет вид корреляционной функции.

В частности, если мы наблюдаем явление электронных флуктуаций, при которых корреляции становятся практически равными нулю за короткое время или, во всяком случае, за время, гораздо меньшее, чем постоянные времени наших приборов, то корреляционная функция флуктуаций зависит только от наблюдающих приборов, а не от характера начальных флуктуаций.

3. Можно повторить предыдущие рассуждения, переведя их на язык спектральной плотности. Тогда

видим, что ход кривой зависит от того, насколько избирательно явление, т. е. от того, насколько тесно оно связано с частотой. Если, в частности, случайная функция представляет какое-либо молекулярное или электронное явление, не имеющее преимущественных частот, то функцию можно заменить постоянной. Впрочем, согласно замечанию 1, можно сказать, что спектральная плотность постоянна вплоть до очень больших частот или что корреляционная функция практически становится равной нулю, как только 1 становится больше некоторого малого значения Когда это случается, мы говорим, что имеет место микроскопическая корреляция.

4. Мы видели, что в случае молекулярных или электронных явлений корреляция зависит только от приборов наблюдения. Это означает, иными словами, что спектральная плотность, соответствующая явлению в чистом виде, не зависит от Можно сказать, что спектры этих явлений имеют одинаковое, по отношению к частоте, энергетическое распределение плотности. В частности, так же обстоит дело и с флуктуациями электродвижущей силы на концах некоторого сопротивления

Рассмотрим теперь контур, состоящий из сопротивления и шунтированного конденсатора (рис. 9.18). Будем считать, что электродвижущая сила с флуктуацией последовательно подключена к сопротивлению

Определим разность потенциалов на зажимах конденсатора. При этом преобразование в происходит с помощью частотной характеристики

откуда

Следовательно,

Но из предыдущего видно, что постоянная, не зависящая от Можно поэтому вынести ее из-под знака интеграла:

Принцип равномерного распределения энергии приводит к соотношению

где постоянная Больцмана, абсолютная температура.

Рис. 9.18.

Сравнив два предыдущих выражения, находим

это соотношение представляет собой формулу Найквиста.