9.1.7. Характеристическая функция.

Пусть дана непрерывная случайная величина х и соответствующая ей плотность вероятности

Для ряда задач удобно ввести функцию от переменной и, которая представляет собой математическое ожидание величины Она называется характеристической функцией случайной величины По определению, эта функция равна

Здесь - мнимая единица.

Из свойств, интеграла Фурье (п. 2.2.2, формула (21)) следует обратная формула

Введение характеристической функции связано с тем, что ее последовательные производные, в которых положено представляют собой,

с точностью до коэффициента начальные моменты того же порядка. Действительно,

Поэтому, если разложить функцию в ряд Маклорена

то

Если этот ряд сходится, то знание начальных моментов различных порядков определяет при некоторых условиях характеристическую функцию, а следовательно, и функцию

Пример. Рассмотрим переменную х, для которой плотность вероятности равна нулю вне интервала и равна единице внутри этого интервала:

Функция распределения равна

Математическое ожидание х равно

что было очевидно a priori. Дисперсия равна

a характеристическая функция

Если перенести начало координат в точку иначе говоря, если заменить х на для получим