5.5.8. Применение шестимерного пространства.

Если речь идет о тензорах валентности выше второй, то формулы преобразования координат довольно сложны. Вычисление компонент тензора в этом случае требует большой затраты труда и времени. Что же касается тензоров второй валентности, то применение формулы

весьма упрощает вычисления. Естественно стремление найти аналогичную формулу для тензоров четвертой валентности.

Тензоры симметричны и имеют по шесть составляющих в трехмерном пространстве (пространство d). В шестимерном пространстве (пространство мы можем рассматривать эти тензоры как векторы с компонентами

Тензор станет в пространстве симметричным тензором второй валентности, имеющим не более чем 21 компоненту. Равенство (24) превратится в пространстве в равенство

Требуется решить задачу: какова должна быть матрица А преобразования координат в пространстве соответствующая матрице а преобразования координат в пространстве

Если мы сможем образовать матрицу А с помощью элементов матрицы а, то для преобразований в пространстве получим формулу

Для того чтобы найти матрицу А, достаточно сравнить формулы

где тензор второй валентности, вектор с шестью составляющими в пространстве Приравнивая соответствующие компоненты в левых и правых частях этих равенств, получим

Видим, что матрицу легко получить, исходя из элементов матрицы а. Если разложить ее на четыре матрицы, имеющие по три строки и по три столбца

то:

1. Элемент матрицы представляет собой квадрат элемента, занимающего в матрице а такое же место.

2. Элемент матрицы является удвоенным произведением двух остальных элементов, стоящих в той же строке, что и соответствующий элемент матрицы а.

3. Элемент матрицы является произведением двух остальных элементов, стоящих в том же столбце, что и соответствующий элемент матрицы а.

4. Элемент матрицы представляет собой сумму попарных произведений взятых крест-накрест элементов, оставшихся после вычеркивания строки и столбца, в которые входит соответствующий элемент матрицы а.

Если преобразование системы координат, определяемое матрицей а, отвечает симметрии кристалла, то формула

позволяет уменьшить число независимых компонент.

Легко вернуться от обозначения в пространстве к обозначению в пространстве Действительно, соотношения между индексами дают возможность написать

Пример. Для пояснения этого метода рассмотрим кубический кристалл и выберем те же оси, что и ранее (см. пример в п. 5.5.7).

Матрица а (поворот на 90° вокруг оси 3) в соответствии с правилами, перечисленными выше, дает для матрицы :

Формула (25) приводит к равенству

Отсюда получаем первое упрощение тензора М:

Заметим попутно, что этот тензор представляет собой в выбранной системе координат тензор модулей упругости для четырехугольного кристалла. Для этого класса кристаллоц, если вернуться в пространство отличные от нуля компоненты тензора равны

Для кристаллов кубического типа мы должны воспользоваться свойством симметрии четвертого порядка относительно остальных двух осей.

Выберем за новую ось поворота ось 1. При повороте вокруг нее на 90° матрица А равна

Применяя формулу (25) к тензору полученному после первого преобразования (поворота вокруг оси 3), будем иметь

Отсюда получим тензор для кристалла кубического типа в виде

Остались только три независимые существенные компоненты: Использование условия симметрии относительно третьей оси — оси не дает дополнительных упрощений. Вернувшись к пространству находим

Это уже известный нам результат.