3.4.5. Система параболических цилиндрических координат.
Рассмотрим рис. 3.29, на котором представлены параболы двух семейств взаимно ортогональных софокусных парабол (фокус в начале координат). Проведем ось 
перпендикулярную к плоскости 
и будем параллельно перемещать параболы при условии, что их фокусы остаются на оси 
Тогда параболы обоих семейств опишут параболические цилиндры, образующие две системы взаимно ортогональных координатных поверхностей. Третья система координатных поверхностей состоит из плоскостей, параллельных 
Если принять за оси прямоугольной системы координат 
соответственно 
то уравнения координатных поверхностей в прямоугольной и параболической цилиндрической системах имеют вид:
Рис. 3.29.
Координаты 
связаны с прямоугольными координатами соотношениями:
Квадрат элемента длины равен
следовательно, единицы локальной длины равны
Для упрощения записи положим 
Согласно формулам 
получаем:
