1.3. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Если функции вещественных переменных х и у, то комплексная величина

получит одно или несколько строго определенных значений для каждой пары величии х, у. Данное выражение рассматривается как функция комплексного переменного и записывается в виде Отметим, что эта запись условна. В общем случае она не означает, что функция зависит от х и у только в комбинации Например, про выражение говорят, что оно является функцией переменной z.

1.3.1. Непрерывность.

Функция непрерывна при если всякому положительному сколь угодно малому числу соответствует пек ложительное число такое, что неравенство имеет следствием

1.3.2. Однозначные функции.

Функция однозначна, если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение функции.

Например, функция неоднозначна. Действительно, положим Тогда

Если принять для одного значения z получится значений .

1.3.3. Аналитическая функция.

Производная однозначной функции (или одного из ее значений, если функция многозначна) определяется как предел

Если такой предел существует и не зависит от того, каким образом стремится к нулю, то говорят, что функция аналитическая.

Изучим подробнее условие независимости стремления к нулю Пусть

Дадим z приращение тогда функция получит приращение Можно написать

Рис. 1.19.

Заменяя и их дифференциалами и переходя к пределу, получим

Для независимости этого предела от способа стремления к нулю, т. е. от ориентировки малого отрезка нужно, чтобы это отношение не зависело от Последнее обстоятельство имеет место, если коэффициенты при в числителе пропорциональны соответствующим коэффициентам в знаменателе, т. е.

Отсюда вытекают условия, которые называются условиями Коши — Римана:

Эти условия необходимы для аналитичности функции. Они будут достаточными, если дополнительно потребовать непрерывность частных производных функций

Дифференцируя полученные два уравнения и приравнивая смешанные производные, имеем

Следовательно, вещественная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Отметим, что последние условия недостаточны для аналитичности функции, так как не всякая пара решений уравнения Лапласа удовлетворяет условиям Коши — Римана.

Существует удобный критерий для проверки аналитичности функции. Функция комплексной переменной аналитична, если она, являясь по форме функцией двух независимых переменных х и у, фактически зависит только от их комбинации является функцией одной независимой переменной z. Легко убедиться, что это требование эквивалентно выполнимости условий Коши — Римана. В самом деле, еслй в выражении

заменим х на и полученную функцию переменных частным образом продифференцируем по у, то находим

т. е.

Если функция аналитическая, то это выражение тождественно равно нулю. Таким образом, полученная ранее функция переменных не зависит от у, т. е. является функцией одного z. Обратное очевидно.

Отсюда следует, что дифференцируемая функция вещественной переменной рассматриваемая как функция аналитическая. Например, не аналитическая функция, аналитическая.

1.3.4. Голоморфная функция.

Аналитическая функция может быть как однозначной, так и многозначной. Однозначная аналитическая функция называется голоморфной