7.5.15. Бесселевы функции третьего рода или функции Ханкеля. Определение.

Положим

Функции и называются функциями Ханкеля соответственно первой и второй, или функциями Бесселя третьего рода. Мы покажем целесообразность введения этих новых функций в последующих пунктах.

Непосредственно из определений функций Ханкеля — формул (62) — следует, что

В частности, если равно целому то

Если то прямо из (62) имеем

Из этих выражений с помощью рекуррентных формул (33), которые здесь также имеют место, можно вычислить функции Ханкеля для любого индекса

7.5.16. Асимптотические разложения.

Можно показать, что для больших значений и для имеют место формулы:

где

Выражения для представляют собой асимптотические ряды. Можно показать, что если в них ограничиться членом, таким, что

и

то погрешность будет меньше первого отброшенного члена. Вычисление производится следующим образом: отыскивается член ряда (68) и (69), наименьший из всех возможных, номер которого удовлетворяет условиям (70) и (71). Так как при этом погрешность меньше первого отбрасываемого члена, то, остановившись на предыдущем члене, мы проведем вычисление с максимальной точностью.

Замечание. Если ряды (68) и (69) обрываются и приводятся к выражениям, совпадающим с указанными в п. 7.5.9. Формулы (63) — (66) при этом оказываются точными.