9.1.18. Приложение к задачам автоматической телефонии.

Когда абонент автоматической телефонной сети снимает трубку, то через какое-то время — обычно довольно короткое — гудок указывает ему момент, когда он может набрать нужный номер: он оказался соединенным с коммутатором. Очевидно, идеальным было бы снабдить каждого абонента коммутатором. Но такое решение было бы весьма неэкономичным по причине высокой стоимости коммутаторов, а также потому, что они бы очень плохо использовались, простаивая без дела большую часть времени. Поэтому каждого абонента снабжают (например, в системе Строуджера) искателем, назначение которого — отыскивать свободный коммутатор, так как число коммутаторов гораздо меньше, чем число абонентов в группе. В действительности имеет место двойной поиск, но для упрощения мы ограничимся простым. Если все коммутаторы, обслуживающие группу абонентов, заняты уже начатыми ранее разговорами, искатель продолжает вращаться до тех пор, пока не заканчивается один из разговоров, после чего абонент соединяется с требуемым номером. Здесь основным является следующий вопрос: если в распоряжение группы, состоящей из а абонентов, предоставлены коммутаторов то какова вероятность того, что один из абонентов найдет все коммутаторы занятыми; если это произошло, то какова вероятность того, что время

ожидания освобождения какого-либо коммутатора будет не больше заданного значения х. Пусть у — среднее число вызовов за единицу времени в группе из а абонентов. Это означает, что если число вызовов за длительный промежуток времени то отношение при оесконечно возрастающих стремится к у. Пусть — небольшой отрезок промежутка Примем

Тогда вероятность того, что любой вызов произойдет в промежуток времени 0, равна

Найдем вероятность того, что определенные вызовов, отобранных из произойдут за время . Эта вероятность равна

Вероятность того, что за время произойдет любых вызовов, отобранных из больше в

Заменим их приближенными значениями по формуле Стирлинга. Если бесконечно возрастает вместе с так, что отношение стремится к у, то отношение — стремится к где среднее число вызовов за время , иначе говоря, Заменив на получаем предыдущую формулу в окончательном виде

или

При бесконечно возрастающем имеем

или

Видим, что вероятности подчиняются закону распределения Пуассона. Тот же закон распределения дает вероятность того, что состоится одновременных разговоров одинаковой продолжительности . Действительно, эта вероятность равна вероятности того, что произойдет вызовов за время .

Если продолжительность разговоров неодинакова, а именно имеется в среднем разговоров продолжительности продолжительности и т. д., то Одновременных разговоров могут состоять из разговоров первого рода, второго рода и причем

Легко показать, что формула, представляющая вероятность останется справедливой, если положить

Если взять за единицу времени среднюю продолжительность разговоров, то формула для вероятности принимает вид

В дальнейших расчетах мы примем эту среднюю продолжительность за единицу времени.

Необходимо принять гипотезу о законе распределения продолжительностей разговоров. Это не нормальный закон. Действительно, на основании нормального закона получилась бы вероятность, не равная нулю для отрицательных продолжительностей разговоров. Кроме того, статистическая проверка показывает, что этот закон очень несимметричен, так как коротких разговоров бывает гораздо больше, чем длинных.

Пусть вероятность того, что разговор продолжается меньше Вероятность того, что разговор длится больше будет Вероятность того, что разговор, длящийся уже время закончится между равна отношению числа благоприятных случаев к числу возможных, т. е.

Логично сделать предположение, что эта вероятность не зависит от Тогда

Следовательно, вероятность того, что разговор, длящийся уже время закончится между равна Эти гипотезы о продолжительности разговоров и сделанное из них заключение используются в приводимом ниже расчете.

Пусть имеется группа, состоящая из а абонентов, располагающих у коммутаторами. Найдем вероятность того, что в момент имеется занятых коммутаторов. Обозначим эту вероятность через Это событие (занятость коммутаторов в момент может произойти следующим образом.

Предположим, что в момент имеется занятых коммутаторов (вероятность В момент их все еще будет если только не произошло вызова (вероятность или если какой-нибудь коммутатор не освободился (вероятность При нашей гипотезе это единственно возможные случаи, если пренебречь вероятностями, имеющими порядок малости выше первого: Действительно, вероятность того, что произойдет а вызовов, равна а вероятность того, что освободятся коммутаторов, равна Следовательно, общая вероятность того, что число занятых коммутаторов, не меняется за время равна

Это же событие может произойти еще двумя способами:

1. Если число коммутаторов, занятых в момент равно (вероятность то в момент их будет если произойдет вызов за время (вероятность Это единственный случай, если пренебречь величинами порядка выше Следовательно, общая вероятность будет

2. Если число занятых коммутаторов в момент равно (вероятность ), то в момент их будет если один коммутатор освободится (вероятность ). Это также единственно возможный случай, если пренебречь величинами порядка выше Следовательно, общая вероятность будет

Все другие варианты, при которых происходит переход от числа коммутаторов, занятых в момент к числу I коммутаторов, занятых в момент причем отличаются больше, чем на одну единицу, приводят к вероятностям, которые имеют величины порядка более высокого, чем Ограничиваясь бесконечно малыми первого порядка, можем написать

или

Так как число занятых коммутаторов не может быть отрицательным, то первое уравнение имеет вид

Таким образом, получаем систему уравнений

Если заменить уравнение суммой первых уравнений, то система упростится и примет вид

Решая эту систему, можем выразить все через

Предполагаем, что у нас нет ожидающего устройства, тогда единственно возможные случаи это — занятость коммутаторов. При этом

Если положить

то

Эти формулы называются формулами Эрланга. Так как вероятность того, что абонент найдет все коммутаторы уже занятыми, то в среднем имеется напрасных вызовов.

Положим теперь, что имеется ожидающее устройство. При этом пусть вероятность того, что накопилось вызовов в ожидании. Вычисление, аналогичное вычислению дает, если опять пренебречь бесконечно малыми порядка выше первого:

Индекс в действительности не может возрастать до бесконечности; его наибольшее значение равно числу а абонентов. Вероятность того, что имеется нуль вызовов в ожидании, равна, очевидно, вероятности того, что все коммутаторы заняты. Сложив вероятности для всех возможных случаев, имеем

Если ввести в это равенство найденные выше значения и воспользоваться условием то получим

Сделаем предположение, что т. е. что среднее число вызовов меньше числа коммутаторов. Тогда выражение в квадратных скобках во втором члене левой части представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая равна

Если положить

то для получим

Найдем вероятность того, что для некоторого абонента промежуток времени ожидания освобождения коммутатора больше Примем гипотезу, что вызовы в ожидании обслуживаются в порядке их поступления. Абонент сможет набрать свой номер, когда разговоров будут закончены.. Вероятность того, что за время закончится ровно а разговоров, будет равна

Вероятность того, что закончилось любое число разговоров, меньшее или равное оудет

Следовательно, веооятность того, что время ожидания будет больше, чем представится выражением

Подставляя выражение для в написанную формулу, получаем

или, подробнее,

или, наконец,

Так как

то формула приводится к виду

Итак, вероятность равна

Поэтому средняя продолжительность ожидания (ее математическое ожидание) равна

Числовой пример. Пусть имеется коммутаторов в распоряжении группы абонентов, делающих в среднем 2 вызова в минуту. При этом средняя продолжительность разговора равна 2 минутам.

Если принять 2 минуты за единицу времени, то мы получим в среднем вызова за единицу времени. Вероятность занятости коммутаторов будет

Умножим числитель и знаменатель этого выражения на и обозначим через величину

Выражение для

можно легко вычислить с помощью таблицы для закона распределения Пуассона. В выбранном нами примере получим

Отсюда

и, следовательно,

Средняя продолжительность ожидания будет равна

Так как мы взяли единицу времени, равную 2 минутам, то