Общие свойства стационарных случайных функций второго порядка
9.2.10. Корреляционные функции.
Рассмотрим сначала несколько простейших свойств корреляционных функций.
1. При 
корреляционная функция равна дисперсии:
2. Корреляционная функция представляет собой четную функцию от 
Действительно,
Вследствие стационарности можно заменить 
на 
Тогда имеем
Рис. 9.14.
Если корреляционная функция дифференцируема, то ее нечетные производные представляют собой нечетные функции, например, 
а четные производные представляют собой четные функции. Характер соответствующих кривых представлен для частного случая на рис. 9.14. Эти кривые соответствуют функции 
Мы увидим в дальнейшем, что это действительно корреляционная функция. Если нечетные производные существуют при 
иными словами, если имеются производная справа и производная слева, равные между собой, то их значение может быть равным только нулю. В нашем примере 
не существует. Но если бы функция 
не имела в начале координат угловой точки, а шла бы так, как это изображено пунктиром, то производная при 
т. е. 
существовала бы, 
была бы обязательно равна нулю.
3. Корреляционная функция удовлетворяет важному соотношению
Это соотношение вытекает из классического неравенства, называемого
неравенством Буняковского-Шварца. Пусть даны две случайные величины 
независимые или зависимые. Кроме того, дано вещественное положительное или отрицательное число 
Тогда справедливо очевидное неравенство 
откуда
Это должно иметь место при любом X, следовательно, квадратное уравнение 
не должно иметь различных вещественных корней. Поэтому
Это и есть неравенство Буняковского — Шварца для рассматриваемого случая. Применим его к двум случайным величинам 
которые являются значениями случайной функции 
в моменты 
Имеем
Взяв квадратный корень, получаем требуемое неравенство (71):
Рис. 9.15.
Согласно соотношению (71), модуль корреляционной функции достигает наибольшего значения при 
Если рассматривать корреляционную функцию применительно к явлению интерференции, то неравенство (71) означает, что наибольшая интенсивность, если речь идет о системе интерференции с блестящей средней полосой (или наименьшая интенсивность, если речь идет о системе с темной средней полосой), всегда бывает в средней полосе. В частности, таких полос, какие изображены на рис. 9.15, наблюдать нельзя.
