7.3.7. Интегралы Френеля.
Интегралы Френеля — функции
могут быть определены через функцию вероятности ошибок по формуле
Отсюда следует
Параметрические уравнения
изображают на плоскости
— ось абсцисс и
— ось ординат) двойную спираль, симметричную относительно начала координат. Она называется клотоидой или спиралью Корню (рис. 7.11). Градуировка клотоиды как функции параметра
легко осуществляется. В самом деле, длина дуги от начала координат до точки с координатами
как раз равна
Легко проверить, что кривизна клотоиды меняется пропорционально длине дуги, т. е. пропорционально
Координаты асимптотических точек клотоиды равны
Разложения функций
в степенной ряд легко получить, исходя из разложений синуса и косинуса. Имеем
Рис. 7.11.
Асимптотические разложения интегралов Френеля получаются многократныминтегрированием по частям линейной комбинации
с последующим приравниванием вещественных и мнимых частей. Получаем
где асимптотические разложения функций
и
имеют вид