5.2. ТЕНЗОРЫ В КРИВОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

5.2.1. Определение криволинейных координат. Криволинейные оси. Координатная поверхность.

Пусть дано трехмерное пространство, отнесенное к прямолинейным осям причем соответствующие единичные векторы (рис. 5.2).

Отнесем то же пространство к криволинейной системе координат, т. е. свяжем старые координаты с новыми соотношениями

При этом новые координаты связаны со старыми обратными соотношениями

Дадим частные значения, соответствующие произвольной фиксированной точке О пространства, координаты которой выражены в старой системе координат формулами (3). Начиная с этой точки О, меняем значения и оставляем и фиксированными.

Рис. 5.2.

Точка, определяемая координатами

описывает кривую, для которой уравнения (5) при условии, что изменяется только величина являются параметрическими уравнениями. Эта кривая есть криволинейная ось проходящая через точку О. Таким же образом можно определить криволинейные оси

Если в уравнениях (5) зафиксировать величину и изменять только и то точка опишет поверхность, которая определяется параметрическими

уравнениями (5). Это координатная поверхность Таким же образом определяются координатные поверхности

Приведенные определения легко обобщить на -мерное пространство. Криволинейные оси определяются с помощью уравнений с одним переменным параметром, а координатные поверхности становятся гиперповерхностями, выраженными уравнениями с двумя параметрами. Знакомые нам формулы преобразования координат

применимы и в этом случае, но лишь к бесконечно малым перемещениям относительно точки О. В старой системе координат такие перемещения равны в новой —

Перемещения в новой системе координат можно считать происходящими по касательным к криволинейным осям

Длины выражаются с помощью локальных единиц длины, определяемых для каждой оси единичными векторами

Локальные единицы длины постоянны в бесконечно малом объеме вблизи точки О и меняются вместе с О. Действительно, имеем

Если к бесконечно малым перемещениям относительно точки О применить формулы преобразования координат, то эти формулы примут вид

Все эти формулы без всяких изменений применимы к случаю, когда старая система координат является также криволинейной системой координат.

Начиная с этого момента, мы будем вместо аффинного векторного пространства рассматривать метрическое пространство, так как теперь нам придется пользоваться понятием расстояния между двумя точками.

Пусть произошло перемещение по оси Тогда соответствующие перемещения в старой системе координат будут

Если предположить, что старая система координат прямолинейна и прямоугольна, то будет справедливо равенство

где

аналогично