9.2. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

9.2.1. Введение понятия случайной функции на конкретном примере.

Мы уже ознакомились с понятием случайной величины. Вернемся к нему для того, чтобы лучше уяснить себе, что такое случайная функция.

Будем исходить из классического примера игры в кости. Рассмотрим некоторую категорию испытаний С, которая представляет собой совокупность следующих испытаний. В пакет кладут кость и после встряхивания выбрасывают кость на стол. После этого отсчитывают цифру на верхней грани. Результат каждого опыта — некоторое положение кости на столе. Это положение определяет численное значение X — цифру на верхней грани. случайная величина, определенная по категории испытаний С. Случайная величина, определенная по известной категории испытаний С, представляет собой численную переменную X, значение которой определяется результатом каждого испытания. Определяя вероятность по категории испытаний С, имеют в виду вероятность того, что результат индивидуального испытания приводит к численному значению Эта функция представляет собой функцию распределения случайной величины X по категории испытаний С.

В предыдущем примере мы поставили в соответствие с результатом испытания некоторое число. Но можно было бы поставить в соответствие с ним математическую категорию любой природы, в частности некоторую функцию. Например, условимся ставить в соответствие каждому значению случайной величины X, рассмотренной выше, функцию х времени определяемую выражением Тогда результат каждого испытания определит некоторую функцию времени в интервале Обобщая предыдущее определение, можно сказать, что это случайная функция времени по категории испытаний С. Случайная функция по известной категории испытаний С—это функция известного параметра полностью определяемая результатом каждого испытания.

В нашем элементарном изложении будут рассматриваться только случайные функции с вещественными значениями. Конечно, вовсе не обязательно, чтобы параметр мог меняться от до Случайная функция величины может быть определена только для некоторых значений (например, только в интервале или только для целых значений С другой стороны, категории испытаний в большинстве случаев неизмеримо более сложны, чем те, которые здесь рассматривались. В частности, число возможных результатов может быть бесконечным и даже следовать из бесконечного числа осуществленных результатов полученных для бесконечного количества категорий испытаний

Приведенный пример случайной функции имеет то преимущество, что он прост, но в то же время он слишком прост и не позволяет сделать далеко идущих выводов. Рассмотренная выше схема допускает лишь очень ограниченное вмешательство случайности, так как случайная природа функции проявляется лишь через величину В частности, знание значения х для какого-либо ведет за собой знание х для всех значений Очевидно, что столь узкие рамки оставляют слишком мало возможностей для проявления случайной природы таких резко изменчивых и непостоянных явлений, как турбулентность жидкости или флуктуации электрических напряжений, происходящие за счет шумового фона.

Возьмем другой пример. Рассмотрим частицу, способную перемещаться по оси и находящуюся в начале координат при Предположим, что скорость этой частицы может принимать значения только или —1 и меняется только в моменты где она каждый раз с равными вероятностями может принять значение или —1. Другими словами, в промежутке времени равно либо целому положительному числу, либо нулю) скорость представляет собой случайную переменную которая с одинаковой вероятностью может принимать

значения +1 или —1. Кроме того, случайные переменные независимы. Обозначим теперь через абсциссу частицы в момент Можно составить себе представление о свойствах случайной функции по рис. 9.7, где изображена частная реализация функции Здесь одновременно изображены и случайные значения членов последовательности и реализация функции полученная на основании этой последовательности. Такой способ приводит к последовательному составлению функции и допускает вмешательство случайности, не ограниченное во времени. Каждая реализация зависит от результатов бесконечного числа последовательных испытаний Конечно, ничто не мешает рассматривать эту бесконечную совокупность испытаний как одно суммарное испытание В из некоторой категории испытаний Тогда результат испытания будет определять частную последовательность скоростей некоторую последовательность чисел и —1, чередующихся в известном порядке. Рассмотренная схема случайного явления представляет собой частный случай схемы, использованной при изучении явления турбулентности.

Рис. 9.7.

Рассмотрим теперь пример, взятый из электротехники. Здесь речь идет о флуктуациях, вызванных чистым дробовым эффектом в линейных усилителях. Если свести эту задачу к наиболее упрощенной схеме, то она будет выглядеть следующим образом. Дан линейный усилитель для простоты полагаем, что он не передает постоянной составляющей. Воздействуем на него постоянным током Следует ожидать, что на выходе ток усилителя будет равен нулю. В первом приближении это и наблюдается. Однако при более тонком исследовании можно заметить на выходе усилителя напряжение шума, более или менее беспорядочное. Если записать это напряжение, то получим некоторую кривую где обозначает время.

Проделаем тот же опыт, не с одним усилителем, а с большим числом усилителей находящихся в одинаковых макроскопических условиях. Получим кривые Они не тождественны, но исследователь легко обнаружит их сходство. Разница между ними вызывается случайным характером флуктуаций, которые неизбежно требуют статистического подхода. Предположим для простоты, что эти флуктуации вызывает только электронная природа входного тока (иными словами, пренебрежем собственными флуктуациями усилителя, чтобы не отвлекать внимания от флуктуаций, вызванных входным током Влияние тока на усилитель есть результирующая влияний отдельных электронов, образующих

ток Каждый электрон создает импульс, который вызывает некоторое возмущение в усилителе, и электрические явления, которые в нем происходят, подобны в совокупности движению маятника, возбуждаемого последовательными толчками. Не уточняя пока, скажем только, что усилитель подвергается ряду одинаковых очень коротких и беспорядочных ударов. Каждый из них соответствует импульсу, создаваемому одним электронным зарядом среднее число импульсов в секунду будет равно Действие тока будет совершенно определено, если будет известна бесконечная последовательность моментов времени

в которые действуют отдельные электроны. Мы можем охарактеризовать линейный усилитель реакцией которая соответствует очень короткому единичному импульсу (т. е. очень быстрому прохождению единичного заряда), полученному в момент времени Реакция называется ударным ответом усилителя (рис. 9.8). Очевидно, что ответ тождественно равен нулю при так как следствие не может предшествовать причине. Ответ на импульс, полученный в момент очевидно, равен и в конечном счете представляется как наложение в момент ответов усилителя на все удары, предшествовавшие моменту Можно, впрочем, распространить суммирование на все удары как предшествующие, так и следующие за так как последующие удары все равно исключаются сами собой как следствие условия при Поэтому

Рис. 9.8.

В этом примере случайность входит через свойства последовательностей

Существует столько же возможных случайных реализаций функции сколько имеется таких последовательностей.

Так же, как и ранее, можно считать, что влияние случайности проявляется в бесконечной последовательности элементарных испытаний, в каждой из которых случайным образом определяется момент если все моменты известны. Можно также назвать испытанием совокупность всех значений частного распределения от до

В рассмотренных до сих пор примерах мы прежде всего выясняли схему случайной природы явления, порождающей случайную функцию. Категория испытаний могла при этом быть более или менее сложной, но она была вполне определенной. При различных применениях теории вероятностей

довольно часто употребляется понятие случайной функции при менее ясных на первый взгляд обстоятельствах. Возьмем пример: известно, что под влиянием перемещений масс на поверхности Земли, о которых еще нет достаточных сведений, полюс Земли претерпевает небольшие перемещения. Значения координат и полюса, выраженные в большинстве случаев в секундах дуги, определяются по отношению к системе прямоугольных осей, за начало которых принимается среднее положение полюса, а ось проходит через Гринвичский меридиан. Рассмотрим, например, координату. Ее изменения во времени за последние десятилетия представлены кривой, ход которой дан на рис. 9.9. Ход этой кривой достаточно незакономерен, чтобы навести на мысль о случайном характере явления, однако на первый взгляд всякий вопрос о вероятности из этой задачи исключен.

Рис. 9.9.

Значения нам становятся известны лишь по мере того, как производятся с течением времени наблюдения. Конечно, мы не знаем будущего функции но эта функция единственна, так как во Вселенной имеется всего одна Земля. Однако если имеется некоторая теория о природе масс, случайные перемещения которых порождают изменения в положении полюса, или если нами приняты достаточно точные гипотезы об этих массах и их перемещениях, то нам ничто не мешает мысленно рассматривать бесконечное количество систем, макроскопически тождественных Земле и отличающихся друг от друга только случайным различием поверхностных масс, перемещения которых мы подчиним некоторым случайным схемам. При этом мы должны будем считать, что наблюдаемая функция представляет собой лишь возможную реализацию случайной функции определенной по категории испытаний, имеющей, так сказать, только мысленное существование. Такой способ рассуждений законен лишь в том случае, если у нас есть причины считать, что мы сможем, исходя из статистических свойств случайной функции определенной по воображаемой категории испытаний, вывести результаты, справедливые для дальнейшего хода частной реализации функции в частности, для Тогда мы сможем увидеть, приводят ли принятые гипотезы к результатам, которые подтверждаются опытом, и в благоприятных случаях сможем предвидеть в известной мере будущее функции По аналогии с уже рассмотренными примерами можно сказать, что скорость ветра или температура воздуха — случайные функции времени в некоторой определенной точке Земного шара.