ГЛАВА VIII. СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИЛИ ОПЕРАЦИОННОЕ, ИСЧИСЛЕНИЕ

8.1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей главе рассматривается символическое, или операционное, исчисление и его приложения к изучению переходных режимов электрических цепей.

8.1.1. Ограничение области применения.

Необходимо оговорить условия, ограничивающие множество электрических цепей, к которым можно применять операционный метод.

Следует исключить цепи, параметры и конфигурация которых меняются во времени.

Следует также исключить нелинейные электрические цепи. Для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции: если две электродвижущие силы поочередно включенные между двумя точками цепи, вызывают во взятой наугад ветви соответственно токи и то электродвижущая сила включенная между этими же двумя точками, вызовет в той же ветви ток

Это основное свойство линейных дифференциальных уравнений, которыми описываются линейные цепи: сумма двух частных интегралов представляет собой также частный интеграл.

Поэтому нельзя применять операционное исчисление к цепям, содержащим индукционные катушки с железными сердечниками (явление гистерезиса) или вакуумные лампы, работающие за прямолинейной частью характеристик.

Короче говоря, оба предыдущих ограничения требуют от электрических цепей, к которым применим аппарат операционного исчисления, режима, описываемого линейными дифференциальными уравнениями (обыкновенными или в частных производных) с постоянными коэффициентами.

Кроме того, будем считать, что рассматриваемые электрические цепи диссипативны. Такие цепи стремятся к состоянию покоя, если устранена причина, нарушившая равновесие. Иными словами, показатель степени у экспонент, фигурирующих в выражениях для переходных токов, должен иметь отрицательную вещественную часть:

8.1.2. Расчет установившихся режимов.

Мы уже рассмотрели в гл. I (п. 1.2.1 и последующие), как рассчитать установившийся синусоидальный режим электрической цепи.

Предположим, что синусоидальная электродвижущая сила и приложена в течение очень длительного времени. При этом возмущение, внесенное внезапным приложением этой э. д. с., успело экспоненциально

затухнуть и остался только ток, соответствующий установившемуся режиму.

Рассмотрим сначала простую цепь (ветвь, звено, узел). Электродвижущая сила создает в этой цепи с комплексным сопротивлением или комплексной проводимостью установившийся ток

где

Если требуется найти установившийся ток, вызванный вещественной электродвижущей силой

то достаточно взять вещественную часть

Положим, что мы имеем дело со сложной цепью и требуется найти ток, соответствующий установившемуся режиму в контуре при включении электродвижущей силы и в контур Все сказанное выше остается в силе при условии замены на взаимное комплексное сопротивление контуров определенное в п. 1.2.8.

Если электродвижущая сила не синусоидальна, а только периодична, то разложение в ряд Фурье легко приведет к предыдущему случаю. Действительно, если период, то, как мы видели в п. 2.1.8,

где

Поэтому ток будет

или

Здесь через обозначены комплексное сопротивление и комплексная проводимость простой цепи на круговой частоте или же, если речь идет о сложной цепи, комплексное взаимное сопротивление и комплексная взаимная проводимость.