ГЛАВА X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

10.1. РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

10.1.1. Графическое решение.

Очень простой способ вычисления корней уравнения состоит в том, чтобы тщательно вычертить на миллиметровке кривую Абсциссы пересечения этой кривой с осью абсцисс будут равны искомым корням с приближением, часто достаточным для инженера. Они могут служить также отправной точкой для методов алгебраической апроксимации, описанных ниже. Построение кривой полезно для применения этих методов, так как сведения, которые оно ласт о ходе кривой, позволят выбрать приближение или метод, наиболее подходящий для быстрого вычисления.

Часто можно написать уравнение в виде

При этом решения будут даны абсциссами точек пересечения двух кривых:

Если представление выбрано удачно, то начертить эти кривые будет гораздо легче, чем кривую Например, решение уравнения легче получить, найдя пересечение кривых чем вычерчивая кривую

Такое графическое решение может дать очень точные результаты. В п. 10.1.4 этот способ рассматривается более полно и в большей общности.

Если в уравнении фигурируют параметры, то иногда оказывается возможным собрать их в одну из функций или а другая оказывается от них независящей. При этом удается получить схему, пригодную для графического решения всех уравнений некоторого типа.

Пример. Графическое решение уравнений третьей и четвертой степени.

а) Требуется решить уравнение . Положим Тогда уравнение принимает вид при

Достаточно найти пересечение прямой с кривой которая будет начерчена раз навсегда.

б) Требуется решить уравнение

Положим Тогда уравнение примет вид при

Если положим Получаем

при

Если a < 0, положим Получаем

при

Достаточно найти пересечение прямой кривой или, в зависимости от случая, с кривой Обе эти кривые чертятся раз навсегда.