8.5.7. Применение операционного исчисления к исследованию функций.
Некоторые свойства трансцендентных функций можно наглядно показать с помощью операционного исчисления.
Пример 1. Даны две функции
Теорема свертывания дает
Если положить 
иначе говоря, мы получили определение эйлеровой функции первого рода (п. 7.4.6):
Можно заметить также, что некоторые трансцендентные функции имеют простые и даже алгебраические изображения. Вспомним в качестве примера 
Поэтому есть основание думать, что изучение свойств функции переменной 
значительно упростится, если исходить из изображения этой функции.
Пример 2. Рассмотрим функцию Бесселя и найдем несколько уже установленных ранее формул, а также несколько новых. Имеем
Одновременная запись обоих этих соотношений налагает условие
Имеем
Отсюда, применяя теорему свертывания, получаем
Положим
тогда
Сумма
имеет изображение
Отсюда
Имеем также
Но мы можем написать
Отсюда
Известно, что 
равна сумме ряда:
Заменив в этом выражении 
на 
получим
и, умножив обе части на 
Учитывая, что 
имеет изображением 
получаем
Отсюда
Эта формула легко позволяет установить большое количество свойств бесселевой функции Продифференцируем левую часть (138) и умножим правую на 
Тогда
Следовательно, заменив в 
на 
имеем
иначе говоря,
Если заменить 2 на 
то получим хорошо известную рекуррентную формулу
Рассмотрим тождество
Формула (138) преобразует это тождество по 
в тождество по 
Если заменить 2 на 
а 
на то
Это формула умножения аргументов для функции Бесселя.
Формула (138) легко позволяет написать соотношение между двумя функциями Бесселя с любыми индексами 
и 
при 
Имеем
Применив теорему свертывания, получаем
Отсюда
Если заменить в этом выражении 
на а на 
получим искомое выражение
Пример 3. Полиномы, определенные равенством
называют полиномами Лагерра. Формула (14) при применении формулы (33). где 
дает
Так как 
то по формуле (30)
и применяя формулу (33), где 
получаем
т. е. получаем изображение полинома Лагерра 
Если переменную обозначить через х, то, согласно последнему соотношению, можно написать
Отсюда, применяя формулу (15), где 
получим
Следовательно, полиномы Лагерра являются коэффициентами при в разложении в ряд функции
Эту функцию называют производящей функцией полиномов Лагерра.
Можно написать
Согласно формуле (37), где 
Отсюда
что представляет собой полезную рекуррентную формулу.
