7.6.25. Некоторые значения присоединенных функций Лежандра.

Приложение присоединенных функций. Если целые положительные числа то можно написать

а также соответствующие формулы для

При имеем

Если нечетное число, то

Если п - т - четное число, то

Если то можно написать

В качестве примера на приложение функций Лежандра рассмотрим электростатическое поле сплюснутого эллипсоида вращения с потенциалом

Этот простой пример может пояснить вамечание, приведенное в конце п. 6.3.11. Действительно, регулярность, которой должен обладать потенциал, ограничивает класс функций, входящих в произведения Лапласа. На данном примере мы покажем, что выбор этих функций может быть сделан лишь после достаточно глубокого изучения их свойств.

Координаты х, у, z, оператор Лапласа и множители входящие в произведение Лапласа, как функции сплюснутых эллипсоидальных координат вращения даны в п. 6.3.11.

Совершенно очевидно, что потенциал обладает симметрией вращения, следовательно, Потенциал должен быть конечным на оси т. е. при Отсюда (целому числу), а

Если заменить на на то оба слагаемых функции будут вещественны. Потенциал равен нулю на бесконечности, т. е. при Так как при бесконечном возрастании стремятся соответственно к бесконечности и к нулю, то

Таким образом, потенциал сводится к выражению

Уравнение заданного эллипсоида потенциал на нем постоянен. Он не должен зависеть от поэтому сводится к постоянной; значит, возможно только Если заданный потенциал, то в окончательном виде имеем