7.9.4. Фундаментальное свойство полиномов Чебышева.

Для этих полиномов имеет место следующая важная теорема.

Теорема. Пусть совокупность многочленов степени с коэффициентом при равным единице, заданных на отрезке Рассмотрим

Наименьшее значение доставляет

где полином Чебышева.

Полином называется наименее уклоняющимся от нуля. Доказательство. На отрезке полином имеет экстремумы в точках

причем

Все значения в экстремальных точках равны по модулю, а знаки последовательно чередуются.

Для доказательства теоремы предположим противное. Пусть среди совокупности есть некий многочлен который менее уклоняется от нуля, чем Многочлен

имеет степень По предположению, в точках

Поскольку знаки в этих точках чередуются, то многочлен в этих точках последовательно меняет знаки (он положителен там, где и отрицателен там, где Значит, по теореме Коши многочлен имеет не менее корней, а это невозможно.

Из теоремы вытекает, что полином степени

равный 1 при в промежутке дает наименьшее отклонение от нуля, равное

Рис. 7.59.

Пример. Определим промежуток изменения х, в котором Это означает, что нужно найти а из уравнения По формуле (221) находим

Рис. 7.60

Функция изображена на рис. 7.59.

Апроксимация, состоящая в том, чтобы заменять функцию другой, аналитически более простой (этот вопрос подробно разбирается в гл. X), определяемая из условия, чтобы максимальное отклонение было меньше некоторого предела, называется апроксимацией в смысле Чебышева.