1.3.14. Лемма Жордана.

Часто бывает полезно рассматривать открытые контуры интегрирования, точнее, контуры, которые в действительности замыкаются бесконечной окружностью комплексной плоскости. В большинстве случаев речь идет о прямолинейном контуре, замыкающемся полуокружностью с центром в начале координат, радиус которой растет до бесконечности. Если интеграл по этой полуокружности стремится к нулю, то контур интегрирования сводится к бесконечной прямой. Следующее положение, известное как лемма Жордана, позволяет указать важный частный случай равенства нулю интеграла по полуокружности бесконечного радиуса.

Пусть функция, голоморфная в верхней полуплоскости за исключением конечного числа полюсов., и стремящаяся к нулю при равномерно относительно Тогда при

где контур С представляет собой полуокружность с центром О и радиусом замыкающую верхнюю полуплоскость.

Действительно, произведем замену переменной

Очевидно,

В силу равномерного стремления к нулю, для достаточно больших имеет место неравенство где положительное, произвольно малое. Используя, далее, неравенство — справедливое при получаем

что и доказывает лемму.

Если отрицательно, то в условии леммы следует только заменить верхнюю полуплоскость на нижнюю и соответственно верхнюю полуокружность на нижнюю. Рассмотрим теперь

Этот предел равен нулю при тех же условиях, что и предыдущий, если для положительного и отрицательного речь идет соответственно о левой полуплоскости о правой полуплоскости — относительно мнимой оси. Контур С обозначает соответственно полуокружность с центром О и радиусом справа или слева от мнимой оси.

Замечание. При вычислении интеграла по бесконечной оси с помощью теоремы о вычетах следует помнить, что контур, образованный осью и бесконечной полуокружностью, должен обходиться в положительном направлении.