7.5.39. Колебания равномерно натянутой мембраны.
Рассмотрим мембрану, т. е. упругую тонкую пластинку, равномерно натянутую на плоскую раму. Исследуем свободные колебания этой мембраны, выведенной из положения равновесия, исходя из следующих упрощений:
1) затухание не происходит;
2) смещения достаточно малы, чтобы можно было считать натяжение неизменным, а перемещения каждой точки совершающимися по малым прямым, перпендикулярным плоскости, которую представляет собой мембрана в покое.
Теория поверхностного напряжения указывает, что каждая единица поверхности мембраны подвергается воздействию нормальной силы, равной
где А — поверхностное натяжение,
главные радиусы кривизны.
За ось z примем ось, перпендикулярную к плоской поверхности мембраны в состоянии покоя и к двум прямоугольным осям
на этой плоскости. Пусть
поверхностная плотность мембраны. Уравнение движения будет
Если деформации малы, то, пренебрегая квадратами малых величин, имеем
Колебание мембраны определяется волновым уравнением