1.3.19. Эквивалентный контур.

Если функция удовлетворяет условиям леммы Жордана, то интеграл по бесконечной полуокружности, расположенной слева от мнимой оси, равен нулю при

Рассмотрим типичные эквивалентные контуры для особых точек разного типа.

1. Все особенности являются полюсами. В этом случае контур, эквивалентный контуру Бромвича, состоит из произвольной замкнутой кривой, не имеющей двойных точек, внутри которой расположены все полюса. Значение интеграла по контуру Бромвича равно сумме вычетов относительно этих полюсов.

2. Функция имеет точки разветвления. В качестве контура, эквивалентного контуру Бромвича, можно взять малую окружность, заключающую точку разветвления, соединенную разрезом с бесконечной полуокружностью, лежащей слева от мнимой оси.

Примеры эквивалентных контуров Для функции контур, эквивалентный контуру Бромвича, окружность с центром в начале координат (рис. 1.30).

Рис. 1.30.

Рис. 1.31.

Для функции контур, эквивалентный контуру Бромвича, состоит из малой окружности с центром в начале координат, являющемся точкой разветвления, соединенной с бесконечным полукругом, как это показано на рис. 1.31.

Для функции имеющей две точки разветвления в можно начертить множество эквивалентных контуров. Несколько таких контуров показано на рис. 1.32.

Пример 1. Вычислить

Особенность представляет собой кратный полюс в начале координат. Так как условия Жордана выполняются, то интеграл будет равен вычету функции относительно точки

Рис. 1.32.

Разложим в ряд. Вычет относительно особой точки равен коэффициенту при в произведении

т. е.

Пример 2. Вычислить Условия Жордана выполнены. Особенностями функции являются, во-первых, двойной полюс в начале координат, во-вторых, бесконечное число простых полюсов когда принимает все целые значения от до кроме значения Следовательно, интеграл равен сумме вычетов относительно полюсов подынтегральной функции.

Вычислим вычет относительно точки Для этого разложим в ряд числитель и знаменатель подынтегральной функции:

При малых z это выражение можно записать в виде

Вычет равен коэффициенту при

Вычислим сумму вычетов относительно Имеем

Сгруппируем попарно в последней формуле члены, содержащие с членами, содержащими Имеем

Если учесть вычет относительно начала координат, то находим

Пример 3. Вычислить интеграл

Особенностями функции являются два полюса и точка разветвления

Рассмотрим разрез вдоль отрицательной части действительной оси и обозначим соответствующий ему шнур через (см. рис. 1.31). Так как функция удовлетворяет условиям леммы Жордана, то интеграл по контуру Бромвича равен интегралу по шнуру (направление обхода указано стрелками) плюс сумма вычетов относительно полюсов

где окружность с центром О и бесконечно малым радиусом, путь, проходимый по верхнему берегу разреза, путь, проходимый по нижнему берегу разреза.

1. Вычислим вычеты относительно особых точек. Вычет относительно равен

Вычет относительно равен

Сумма вычетов дает

2. Для точек окружности радиуса с центром О имеем Так как то

3. На верхнем берегу разреза

На нижнем берегу разреза

Следовательно,

и, наконец,

Характерные примеры интегрирования на комплексной плоскости даны в пп. 8.3.23 и 8.4.18.