2.2.8. Преобразование Фурье.

Вместо симметричных формул (26) и (27) для определения преобразования Фурье предпочтительнее пользоваться соотношениями (20) и (21), но при этом следует ввести множитель в формулу взаимного преобразования.

Стандартная форма экспоненциальной трансформанты Фурье функции определяется соотношением

Обратное преобразование определяется по формуле

Эти формулы не полностью симметричны. Экспоненциальная трансформанта Фурье для функции равна

Если функция определена только при если к тому же она, как и функции, рассматриваемые в гл. VIII (преобразование Лапласа), равна нулю при то мы можем определить два других преобразования Фурье: преобразование

называется косинус-преобразованием Фурье для преобразование

называется синус-преобразованием Фурье для

Обратные преобразования будут

Имеются очень полные таблицы трансформант Фурье для основных функций.

Можно вывести формулы преобразований Фурье из таблиц пп. 8.3.29, 8.3.30, в которых приводятся формулы преобразований Лапласа. Для этого, однако, недостаточно заменить переменную на следует еще убедиться, что выполнены некоторые дополнительные условия. Действительно, замена переменной приводит в соответствие мнимую и вещественную оси — пути интегрирования. В преобразовании Лапласа путь интегрирования связывает точки Замена на может быть произведена, если функция не имеет полюсов вправо от мнимой оси или на ней самой. Кроме того, функция времени рассматриваемая в преобразовании Лапласа, равна нулю при Это приводит к необходимости различать два случая.

1. Функция равна нулю при Достаточно заменить на если только эта функция не имеет полюсов справа от мнимой оси или на ней самой.

Пример при при Функция удовлетворяет предыдущим условиям, если Искомая экспоненциальная трансформанта Фурье равна, следовательно,

Так как при то, взяв вещественные и мнимые части функции мы непосредственно получаем косинус- и синус-трансформанты Фурье для

2. Функция не равна нулю при Можно написать

Если соответственно имеют в качестве трансформант Лапласа функции и если обе эти функции не имеют полюсов вправо от мнимой оси или на ней самой, то

Пример 2. Функции соответствует трансформанта Лапласа имеющая два полюса на мнимой оси.

Функции соответствует трансформанта Лапласа Полюсы функции находятся слева от мнимой оси, полюсы функции находятся, справа от нее.

Обе функции, не имеют экспоненциальной трансформанты Фурье, это представляет большое затруднение при электротехнических расчетах.

Пример 3. Трансформанта Лапласа от равна

Функция не имеет особых точек на конечном расстоянии. Следовательно, экспоненциальная трансформанта Фурье от будет так как функция будучи нечетной, исчезает в сумме .

Поэтому трансформанта Фурье функции имеет такой же вид, как и она сама, с точностью до коэффициента

Замечание. Иногда удобно использовать частоту вместо круговой частоты . В этом случае нужно обратиться к формулам (26) и (27), которые определяют экспоненциальную трансформанту для функции и обратное преобразование.

Как и в предыдущем случае, если равна нулю при преобразования Фурье по косинусам и синусам будут соответственно:

обратные преобразования:

Преобразование Фурье в случае двух переменных. Преобразование Фурье легко обобщается на функции нескольких переменных. Приведем формулы для случая двух переменных. Они представляют собой обобщение формул (20) и (21):

Полагая получаем формулы, аналогичные (26) и (27):

Соображения о симметрии, которые мы приводили раньше в отношении одномерного преобразования, могут быть повторены и здесь в отношении переменных с одной стороны, и с другой.