4.2.21. Контуры с периодически меняющимися параметрами.

Рассмотрим свободные колебания контура, у которого активное сопротивление, индуктивность и емкость периодически меняются во времени. Примерами могут служить генератор переменного тока, индуктивность которого является синусоидальной функцией времени, телефонные наушники, угольный микрофон, конденсаторный микрофон, периодически изменяющие параметры контуров, в которые они входят как составные элементы.

Рис. 4.34.

Рассмотрим контур, изображенный на рис. 4.34, и положим

где переменные члены, постоянные. Кроме того, положим, что постоянные члены больше соответствующих амплитуд переменных членов, т. е.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний цепи будет

если принять за функцию заряд конденсатора

Задача легко решается, если известны два предельных условия. Положим, что

и

Тогда уравнение (35) принимает вид

Положим

Функции периодичны. Следовательно, также периодична, и мы получим дифференциальное уравнение

которое называется, уравнением Хилла.

Если два линейно независимых решения, то общее решение представляет собой их линейную комбинацию и может быть написано в таком виде:

где две произвольные постоянные.

Найдем соотношение между двумя значениями функции разделенными периодом функции Положим

и будем искать соотношение между Положим

Воспользовавшись (36), получаем откуда

Это равенство должно быть справедливо в любой момент времени Необходимо, следовательно, чтобы

Поэтому

Возьмем произвольный момент времени Тогда получим последовательно

Отсюда

Величина модуля X позволит определить устойчивость решения. Положим

Имеем

Если

то система (38) может быть записана в виде

Матрица из постоянных определяется начальными условиями;

Отсюда получаем новую форму для системы (38):

Придавая величине значение находим

Это равенство показывает, что собственное значение матрицы

Производная определителя матрицы равна

Это выражение равно нулю в силу уравнения Хилла, которому удовлетворяют Следовательно, определитель матрицы независим от

Определитель равен величине, обратной определителю Поэтому определитель произведения, т. е. определитель равен единице. Эта величина равна также произведению собственных значений матрицы Мы можем, следовательно, считать, что

Корни и произведение которых равно единице, могут быть написаны в таком виде:

где вещественно.

Если то показатель степени веществен и. равен . В этом случае решение неустойчиво, потому что один из корней или по абсолютному значению больше единицы. Если то показатель степени -чисто мнимая величина, равная Если равен рациональной дроби то решение будет периодичным с периодом т. е. устойчивым. Если не равен рациональной дроби, то решение непериодично, но продолжает оставаться конечным, а следовательно, устойчивым. В общем если диагональные члены матрицы будут то достаточно сравнить абсолютную величину с 2.

Практическое вычисление устойчивости этих решений связано с очень большими трудностями. Поэтому рассмотрим приближенный метод вычисления матрицы

Эта матрица определяется из уравнения

Будем исходить из уравнения Хилла

при начальных условиях, определенных для Если ввести обозначения то уравнение Хилла сводится к системе

которая в матричной форме выглядит так:

Предположим, что примерно постоянна в промежутке времени Тогда требуется решить дифференциальное уравнение

которое является уравнением с постоянными коэффициентами. Такая задача уже решалась в п. 4.1.43. Характеристическое уравнение матрицы будет Равны — Следовательно,

Итак, исходя из мы постепенно приближаемся к т.е. к равенству вида

Теперь остается только сравнить с единицей корни характеристического уравнения матрицы