4.1.11. Умножение матриц.

Вектор может быть получен последовательным применением к вектору и преобразований, определяемых матрицами Перейдем, как в п. 4.1.5, от и к непосредственно, путем преобразования, определяемого матрицей

Имеем

откуда

Сравнивая с

получаем правило умножения матриц

определяющее матрицу произведения

Следовательно, элемент на пересечении строки и столбца матрицы мы получим, умножая первый член строки матрицы а на первый член столбца матрицы и складывая с аналогичным произведением вторых членов, потом третьих и т. д. по схеме рис. 4.4. Итак, правило умножения, описанное в п. 4.1.5 для случая матриц в две строки и два столбца, имеет общий характер.

Рассмотрим совокупность линейных преобразований, переводящих вектор и в вектор

Эти преобразования можно получить, применив правило умножения матриц:

Иначе говоря,

Замечания. 1. Мы видели, что умножение матриц — некоммутативная операция, но легко показать, что эта операция ассоциативная, т. е. что

Рис. 4.4.

Из правила умножения матриц непосредственно видно, что определитель произведения матриц равен произведению определителей. Поэтому если

то

где — определители соответствующих матриц. Понятно, что это замечание имеет смысл только в случае квадратных матриц.

2. Очевидно, что понятие произведения двух матриц приложимо не только к квадратным матрицам или матрицам в одну строку или один столбец, но и к прямоугольным матрицам. Однако важно отметить, что произведение матриц имеет смысл только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Примеры. Применяя изложенные выше правила умножения, получаем следующие результаты: