7.6.16. Корни функций Лежандра первого рода.

При решении в сферических координатах задач теории потенциала обычно применяются функции Лежандра В этих задачах часто приходится вводить следующее граничное условие: потенциальная функция обращается в нуль на поверхности конуса с вершиной в начале координат, образующая которого составляет с осью (прямой угол . Произведения Лапласа, образующие потенциальную функцию, содержат где принимает такие значения, что

На рис. 7.44 по оси абсцисс отложены значения а по оси ординат — значения индексов Кривые на этом рисунке устанавливают связь между и значениями для которых т. е. рисунок позволяет при любом фиксированном определить последовательные корни

Рис. 7.43.

Рис. 7.44.

Рисунок недостаточно точен для близких к —1, т. е. для очень острых конусов. Это важный для приложений случай, так как часто возможно отождествлять с такими конусами тонкие провода. Здесь можно использовать приближенную формулу, которую

мы получим из (128). В самом деле, при 1, близких к нулю, в (128) можно пренебречь суммой и, пользуясь известными свойствами функции для удовлетворяющих уравнению находим

Это уравнение нетрудно решить графически.

Для очень малых (меньше 1/100) можно вывести приближенную формулу, определяющую разность между значением индекса и его порядковым номером

7.6.17. Рекуррентные формулы.

Выражение

согласно ряду (125), равно

или

Отсюда получаем рекуррентную формулу

обобщающую формулу (112), которая была выведена для полиномов Лежандра.

Составим выражение Оно равно

Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу:

Продифференцировав по z тождество (134), определим выражение Подставив его в (135), имеем

— рекуррентное соотношение, обобщающее (115).

Вычтем равенство (136) из (135). Получаем формулу, обобщающую (113):

Умножив уравнение (137) на z и вычтя из него уравнение (136), в котором предварительно заменено на получаем формулу

которая, конечно, справедлива и для полиномов Лежандра.