3.2.18. Векторный потенциал.

Любая векторная функция точки для которой дивергенция тождественно равна нулю, может рассматриваться как вихрь некоторого вектора.

Действительно, пусть задан вектор причем

Отыскание вектора удовлетворяющего условию сводится к решению системы уравнений:

Таких векторов существует бесконечно много. Выберем один из них при условии, что В этом случае равенства (42) и (43) переходят в

Из равенства (45) получаем

В силу последнего соотношения равенство (44) переходит в уравнение относительно

Дифференцируя равенство (46) по у, найдем

Используя это соотношение и равенство (47), продифференцированное по z, имеем

или

Эта формула справедлива в силу предположения, что .

Таким образом, соотношение (44) является следствием формул (45), (46) и уравнения Иначе говоря, равенства (45) и (46) при условии определяют вектор такой, что

Пусть теперь вектор с удовлетворяет уравнению Тогда

или

т. е.

Следовательно, вектор с определяется лишь с точностью до градиента произвольной скалярной функции точки Это соотношение очевидно, так как к полю векторов с, для которых можно добавить поле любых других векторов с нулевым вихрем. Из бесконечного множества этих векторов выберем вектор, дивергенция которого равна нулю. Обозначим его через Вектор можно представить в виде суммы определенного выше вектора и градиента произвольной скалярной функции Имеем

Из последнего равенства следует

Так как то определяется из уравнения Итак, если то существует такой вектор что Вектор называется векторным потенциалом а, а про вектор а говорят.

что он равен производной от векторного потенциала Вектор а, для которого называется соленоидальным вектором. Поле векторов с нулевой дивергенцией называется соленоидальным или лапласовым (магнитное поле системы токов, элементарные поля которых задаются законом Лапласа, относится к рассмотренному типу полей).

Замечание. Векторный потенциал определяется неоднозначно. В самом деле, рассмотрим вектор

Имеем

Так как то при любом Условие

выполняется, если Следовательно, векторный потенциал определяется с точностью до градиента скалярной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.