7.8. ФУНКЦИИ ВЕБЕРА — ЭРМИТА. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА

7.8.1. Функции Вебера — Эрмита, или функции параболического цилиндра.

Так называются частные решения дифференциального уравнения

Положим

Тогда дифференциальное уравнение (180) приобретает вид

Найдем разложение в степенной

Имеем

Отсюда получаем искомое разложение

где два неопределенных коэффициента.

По определению, функция Вебера — Эрмита получится из формулы (182), если принять

Если решение уравнения (180), то также решения. Они, естественно, не все линейно независимы. С помощью

формул (182) — (184) можно показать, что между ними существуют следующие соотношения:

Если отлично от целого числа, то общий интеграл уравнения (180) будет

Если равно четному положительному числу то первое разложение в формуле (182) обрывается на члене а коэффициент второго разложения равен нулю.

Если равно нечетному положительному числу то второе разложение в формуле (182) обрывается на члене а коэффициент равен нулю.

Следовательно, для (целое положительное число) можно написать

полином степени, называемый полиномом Эрмита. Он является четной функцией при четном и нечетной функцией при нечётном. Поэтому выражение (186) уже не является общим интегралом (180). В качестве общего интеграла при любом можно принять выражение

Итак, решение уравнений (64) и (65) п. 6.3.10 описывается общими интегралами (186). (188), в которых для первого случая и для второго. При этом Величины определяются граничными условиями.

Из формул (182) — (184) получаем при

Отсюда

Если z лежит внутри угла

то для функции имеет место следующий асимптотический ряд

Если равно целому положительному числу то этот ряд сводится к

Исходя из формул (182) — (184), можно проверить, что имеют место следующие рекуррентные соотношения:

Точно так же нетрудно показать, что