7.8. ФУНКЦИИ ВЕБЕРА — ЭРМИТА. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА
7.8.1. Функции Вебера — Эрмита, или функции параболического цилиндра.
Так называются частные решения дифференциального уравнения
Положим
Тогда дифференциальное уравнение (180) приобретает вид
Найдем разложение
в степенной
Имеем
Отсюда получаем искомое разложение
где
два неопределенных коэффициента.
По определению, функция Вебера — Эрмита
получится из формулы (182), если принять
Если
решение уравнения (180), то
также решения. Они, естественно, не все линейно независимы. С помощью
то для функции
имеет место следующий асимптотический ряд
Если
равно целому положительному числу
то этот ряд сводится к
Исходя из формул (182) — (184), можно проверить, что имеют место следующие рекуррентные соотношения:
Точно так же нетрудно показать, что