3.3.9. Формула Стокса.

Пусть двухсторонняя поверхность ограничена замкнутой кривой С, на которой указано определенное направление обхода. Нормали к поверхности ориентируем таким образом, чтобы выбранное на С направление обхода оказалось положительным.

Рис. 3.16.

В каждой точке поверхности отложим вдоль отрицательного направления нормали отрезки постоянной длины Точки соответствующие точкам образуют поверхность параллельную поверхности и ограниченную замкнутой кривой С. Обозначим через поверхность, образованную нормалями, соединяющими точки кривых Пусть объем тела, ограниченного поверхностями (рис. 3.16).

Будем считать, что отложенная вдоль направления нормали постоянная длина достаточно мала. Пусть. -точка внутри или на поверхности рассматриваемого тела Опустим из точки перпендикуляр к поверхности I — длина Тогда где единичный вектор нормали.

Рассмотрим точку (см. п. 3.2.1). Ей соответствует точка Имеем

Это выражение умножим скалярно на и:

Но так как векторы перпендикулярны. Кроме того, потому что вектор постоянной длины перпендикулярен своей производной (это следует из теоремы 1 п. 3.2.3). Учитывая также, что получаем

Далее, согласно Следовательно, при любом имеет место Поэтому

Возьмем вихрь от обеих частей этого равенства. Имеем

Применим теорему Остроградского к вектору а

Вектор имеет длину и отложен по нормали к поверхности. На поверхности вектор а на поверхности вектор (через обозначается орт нормали к поверхности ). Имеем

Смешанное произведение очевидно, равно нулю, так как векторы и ортогональны. Поэтому предыдущая формула принимает вид

Смешанное произведение это орт касательной к кривой С при условии, что точка находится на этой кривой С (рис. 3.17). Следовательно,

Рис. 3.17.

Далее, согласно формуле (28) и доказанному выше равенству находим

Таким образом,

Если расстояние мало, то где элемент поверхности Если элемент поверхности - то где элемент кривой С. Тогда

откуда и получается формула Стокса

Итак, циркуляция вектора а по замкнутой кривой С равна потоку его вихря через поверхность, ограниченную . В случае соленоидального векторного поля а известно, что а является производной от

векторного потенциала По формуле Стокса поток вектора через поверхность равен циркуляции по контуру, ограничивающему эту поверхность. Таким образом, поток соленоидального вектора через поверхность равен циркуляции его векторного потенциала по контуру этой поверхности.

Теорема Стокса позволяет дать новое определение вихря. Для этого определим составляющую а в точке А по любому фиксированному направлению

Рис. 3.18.

Опишем из точки А, как из центра, окружность С малого радиуса лежащую в плоскости, перпендикулярной рассматриваемому направлению (рис. 3.18). Составляющая вихря по направлению имеет следующий вид:

Рис. 3.19.