1.3.15. Применение леммы Жордана к единичной функции.

Рассмотрим функцию вещественной переменной определенную с помощью интеграла в комплексной плоскости:

Контур С представляет собой ось х с выемкой в форме полуокружности со стороны отрицательных у (рис. 1.25).

Обозначим через у часть контура С, ограниченную двумя точками равноотстоящими от начала координат, и через полуокружность с центром О, проходящую через и находящуюся под действительной осью.

Рис. 1.25.

Рис. 1.26.

Контур не содержит особых точек подынтегральной функции. Следовательно, соответствующий криволинейный интеграл равен нулю.

Если предположить, что отрицательно, то по лемме Жордана интеграл по контуру стремится к нулю, когда радиус окружности бесконечно возрастает. Следовательно, предел интеграла по контуру (т. е. интеграл по контуру С) равен нулю:

Положим теперь, что положительно. Рассмотрим полуокружность проходящую через и расположенную со стороны положительных у (рис. 1.26). Вэтом случае

так как вычет относительно точки равен единице. По лемме Жордана интеграл по контуру стремится к нулю, если радиус окружности бесконечно растет. В пределе имеем

Функция определенная равенством (14), равна нулю при и единице при (рис. 1.27). Она представляет собой единичную функцию или единичный импульс и обозначается через

Приведем другое выражение для Повторяя предыдущее рассуждение, получим

Рис. 1.27.

Следовательно, мы можем написать

Так как является четной функцией, не имеющей особенности при , то справедливо равенство