то за первое приближение следует принять то из чисел
или
для которого знак
совпадает со знаком
иначе говоря, нужно, чтобы в выбранной точке было
Замечание 1. Если
меняет знак в промежутке
то может случиться, что вторые приближения окажутся хуже, чем первые (рис. 10.2). Поэтому полезно перед началом вычисления приближенно вычертить кривую
Однако иногда применяют метод Ньютона и тогда, когда
меняет знак, или
даже вообще без всякого исследования. В таком случае получаемая последовательность приближений может сходиться к корню или расходиться в зависимости от обстоятельств.
Рис. 10.2.
Замечание 2. Можно легко получить формулу (1), применив формулу Тейлора. Если
точный корень, то
Считая
малой величиной и пренебрегая ее степенями выше первой, находим для
приближенную формулу. Это и есть формула Ньютона.
б) Способ пропорциональных частей. Удобно сочетать только что изложенный способ Ньютона со способом пропорциональных частей. Имея отрезок
в котором
меняет знак, обозначим через
абсциссу точки пересечения прямой
с осью х (рис. 10.1):
а через
абсциссу, полученную способом Ньютона. Найдя отрезок
поступаем с ним так же, как с
что дает нам
Продолжая этот процесс, получаем две последовательности:
которые все ближе и ближе охватывают с двух сторон искомый корень (если только
не меняет знака в промежутке
Замечание 1. Для того чтобы уже первые приближения по способу пропорциональных частей были достаточно близки к искомому корню, необходимо, чтобы
не обращалась в интервале в нуль.
Замечание 2. Если иметь возможность все время точно вычислять
то приведенные выше способы позволяют находить сколь угодно далекие приближения и, следовательно, получать корень с любой точностью. Но если
находится из таблиц, которые неизбежно имеют лишь ограниченную точность, то и корень можно получить также только с ограниченной точностью.
Пусть
совершенная при вычислении
ошибка.
снижает точность вычисления х на такую величину
что