4.1.32. Собственные значения и собственные направления эрмитовой матрицы.
Все собственные значения эрмитовой матрицы вещественны, а собственные направления ортогональны. Докажем это.
Эрмитова матрица характеризуется равенством
Пусть и — собственный вектор, 
соответствующее собственное значение. Тогда
Умножим обе части уравнения на 
Применим операцию 
к обеим частям равенства
Раскрывая скобки и замечая, что операция 
для числа означает переход к комплексно-сопряженному значению, имеем
потому что 
Так как, кроме того, 
то
но а 
поэтому
Следовательно, к —k. Это доказывает, что 
-вещественное число.
Покажем также, что собственные векторы ортогональны. Даны два различных собственных значения 
и два соответствующих им собственных вектора 
Имеем
Умножаем соответственно на и 
Применим операцию 
к обеим частям равенства (9):
Так как 
а 
, то соотношение (11) принимает вид
Сравнивая с (10), получаем
Так как 
к 
а это доказывает, что оба вектора 
ортогональны.
Замечание. Отсюда следует, что и для симметричной матрицы 
-ные направления ортогональны, так как такая матрица представляет собой частный случай эрмитовой.
