10.5.13. Исключительные случаи.

Изложенные способы интегрирования функций, заданных аналитически, не дают хороших результатов в следующих случаях:

а) подынтегральная функция обращается в бесконечность в промежутке интегрирования

б) производная подынтегральной функции бесконечна в промежутке интегрирования;

в) один из пределов интегрирования бесконечен

В этих случаях приходится прибегать к замене переменной под знаком интеграла.

а) Требуется, например, вычислить интеграл

Разложим его на три интеграла:

где Вычисление интеграла не представляет затруднений Для вычисления производим замену переменной

Возьмем откуда Способ Уэддля при дает

Для вычисления производим замену переменной

Возьмем откуда Тот же способ при сохранении шага дает

Способ трапеций, примененный к вычислению при 7 интервалах, равных 0,04, дает Отсюда Точное значение равно

б) Приведем очень простой пример, для второго случая, когда интеграл легко вычислить и непосредственно. Требуется найти

Положим Тогда

Способ Симпсона при 10 интервалах, равных 0,1, дает

Точное значение равно

в) Когда один из пределов бесконечен, самая естественная замена переменной — это Такая замена плоха, если второй предел равен нулю.

Тогда можно произвести более сложную замену переменной Лучше, однако, расчленить интегрирование на две части, как это показано в следующем примере (в котором интеграл также вычисляется непосредственно). Требуется найти

Имеем

Способ Симпсона при 10 интервалах, равных Точный результат есть