6.3. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Если число независимых переменных больше единицы, то дифференциальные уравнения содержат частные производные. В случае, когда функция z зависит от двух переменных х и у, уравнение имеет вид
Аналитические методы решения уравнений в частных производных найдены только для некоторых случаев. Важнейшие из них следующие: уравнение, однородное и линейное относительно частных производных, с постоянными коэффициентами; уравнение колебаний струны; телеграфное уравнение; уравнение Лапласа; уравнение Пуассона; уравнения Максвелла. Эти уравнения разбираются нами ниже.
6.3.1. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами, однородное относительно частных производных.
Рассмотрим сначала уравнение без правой части. Для случая двух независимых переменных это уравнение имеет вид
Положим 
Тогда уравнение (23) принимает вид
Разложим однородный многочлен в левой части (24) на линейные множители:
Уравнение (25) сводится к 
уравнениям типа
т. е.
Каждое уравнение (26) удовлетворяется выражением (см., например, [5])
где 
обозначает любую функцию. Следовательно, общее решение уравнения (23) будет
Мы предполагали, что однородный многочлен уравнения (24) имеет только простые корни. Если он имеет корень 
порядка, то общее решение уравнения типа
будет
Это решение займет место суммы
в общем решении (27).
