5.4.2. Метод составления уравнений для цепи наиболее общего вида.

Рассмотрим цепь наиболее общего вида. Примем токи, текущие в некоторых участках цепи, за вспомогательные неизвестные и с их помощью определим остальные токи цепи. Вспомогательные токи определяются следующим правилом: они должны протекать по таким участкам цепи, разорвав которые мы обесточим цепь. Это правило означает, что вспомогательные токи взаимно независимы в смысле первого закона Кирхгофа. Максимальное число таких токов равно минимальному числу контуров. Поэтому их называют контурными или независимыми токами в противоположность действительным токам, текущим в ветвях. Отсюда следует, что токи ветвей могут рассматриваться как результат наложения всех контурных токов, текущих по рассматриваемой ветви. Существенно определить для контурных токов положительное направление. Оно может быть совершенно произвольным, но, так же как определенное выше положительное направление для токов ветвей, не должно меняться до конца вычисления.

Обозначим контурные токи через а токи ветвей через (поскольку ветви были обозначены буквами ).

Можно рассматривать контурные токи как координаты вектора в -мерном пространстве. Назовем его контурным пространством или, проще, пространством Токи ветвей можно рассматривать как координаты некоторого другого вектора I в -мерном пространстве. Назовем его пространством ветвей или, проще, пространством Векторы выражены соответственно матрицами

Примем, что они контравариантны, что оправдывает расположение индексов вверху. Токи ветвей можно выразить с помощью первого закона Кирхгофа или, что одно и то же, приравнять их сумме контурных токов, протекающих в ветвях. Получаем следующие выражения:

Каждый коэффициент С равен или —1 в зависимости от наличия тока в рассматриваемой ветви и от совпадения его направления с направлением, принятым для данной ветви за положительное.

Таблица коэффициентов С может рассматриваться как матрица преобразования, позволяющая перейти от вектора, представленного матрицей к вектору, представленному матрицей Назовем ее матрицей связи; при этом совокупность уравнений (11) запишется в матричных обозначениях) как

Обратимся к цепи, рассмотренной в предыдущем примере. Схема токов в ней изображена на рис. 5.13. Ветви обозначены через За положительные направления токов примем направления, указанные стрелками. Для некоторых из токов эти направления обусловлены электромагнитной связью. Если разъединить ветви цепь становится полностью разомкнутой. Ее можно рассматривать, следовательно, как наложение трех контуров, обозначенных пунктирными линиями. На каждом контуре стрелками указано направление тока, произвольно принятое за положительное.

Матрицы и V будут равны соответственно

Рис. 5.13.

Рис. 5.14.

Первый закон Кирхгофа дает

Отсюда получаем матрицу С, устанавливающую связь между матрицами

Для описания той же цепи, которую можно обесточить, разъединив другую тройку ветвей можно найти и другую систему контурных токоз, например, изображенную на рис. 5.14. При этом находим новую матрицу связи С

Вернемся к изучению цепи наиболее общего вида. Дана ветвь а (рис. 5.9) с зажимами Она содержит электродвижущую силу и по ней течет ток имеющий направление от А к В. Ветвь имеет собственное сопротивление и связана с другими ветвями через сопротивления связи

Пусть разность потенциалов . Между всеми указанными величинами имеется соотношение

Рассмотрим матрицы

Матрица I представляет собой, по предположению, контравариантный вектор.

Мощность, получаемая от источников равна

Матрица представляет собой ковариантный вектор. Матрица с элементами контравариантный вектор, комплексно сопряженный с вектором Произведение на является скаляром. Расходуемая мощность равна

откуда следует, что матрица является дважды ковариантным тензором. Он называется тензором полных сопротивлений.

Формула (12) показывает, что матрица есть ковариантный вектор. Соотношения типа (12), написанные для всех ветвей, могут быть в матричном обозначении записаны в виде

Это — соотношение между тензорными величинами.

Рассмотрим преобразование, позволяющее перейти от пространства к пространству Оно определено матрицей связи С. Формулы преобразования тензорных величин

или, в матричном обозначении,

где матрицы, представляющие соответствующие тензорные величины в пространстве

Соотношение (13), связывающее тензорные величины, не зависит от выбора системы координат. В пространстве оно получает вид

Элементы матрицы представляют собой алгебраическую сумму электродвижущих сил, действующих в контурах. Элементы главной диагонали матрицы представляют собой собственные сопротивления контуров. Остальные элементы этой матрицы являются сопротивлениями связи между контурами. Каждый элемент матрицы это сумма разностей потенциалов между зажимами элементов ветвей, встречаемых при последовательном прохождении по контуру. Известно, что эта геометрическая сумма равна нулю. Отсюда

Таким образом, соотношение (18) значительно упрощается в пространстве и становится системой из уравнений с искомыми неизвестными:

Замечание. Уравнение (19) — это соотношение между тензорными величинами. Можно соблазниться свойством инвариантности тензорных соотношений и возвратиться из пространства в пространство написав (13) в виде Это, однако, неверно. Дело в том, что матрица, связи С не допускает обращения, и перейти от просгрвнства к пространству невозможно, точно так же, как нельзя написать токи как функцию токов

Применим только что изложенное к примеру, рассмотренному на стр. 269,. Мы уже вычислили матрицу С. Поэтому получаем

Тензор сопротивлений в пространстве равен (принимая во внимание предположение, сделанное о строении цепи)

В пространстве он будет равен

Тензорное уравнение режима будет

Метод, изложенный в этом пункте, сводится к следующим простым приемам:

а) Тщательно вычертить схему изучаемой цепи, обозначить ветви, пронумеровав их зажимы в зависимости от связей, и обозначить имеющиеся электродвижущие силы.

б) Сосчитать узлы, ветви и простейшие цепи. Определить по ним наименьшее число контуров. Ввести столько независимых токов, сколько имеется контуров. Показать эти токи стрелками произвольных направлений.

в) С помощью независимых токов вычислить все токи в ветвях, пользуясь первым законом Кирхгофа и учитывая их направления. По полученной системе написать матрицу связи С.

г) Вычислить матрицы с помощью формул

Отсюда выводится соотношение решающее задачу.

Для дальнейших вычислений нужно знать структуру ветвей и, кроме того, более конкретно определить задачу. Если в задаче рассматривается только стационарный синусоидальный режим, то, например, электродвижущие силы и сопротивления будут иметь следующий вид:

При этом, решая систему (19), найдем комплексные токи

Если требуется только составить систему дифференциальных уравнений, описывающих работу цепи, то следует заменить комплексные токи и напряжения мгновенными токами и напряжениями и подставить вместо знаков дифференцирования и интегрирования соответственно и

Если же требуется отыскать переходный режим, создаваемый несколькими электродвижущими силами приложенными в момент времени то следует ввести в систему (19) изображения электродвижущих сил и сопротивлений в виде

Мы получим переходные токи как функцию времени, вычислив оригиналы выражений

например, путем применения теоремы разложения Хевисайда (см. п. 8.3.12).

Очевидно, что в случае постоянного тока речь идет лишь о решении системы линейных уравнений где элементы вещественные числа, выраженные соответственно в омах и в вольтах.

Рис. 5.15.

При этом система (19; дает токи в амперах.

Последнее замечание: очевидно, что отыскание тензорным способом уравнений режима цепи, изображенной на рис. 5.13, невыгодно. Прямое вычисление было бы проще.

Рис. 5.16.

Однако легко заметить, что по мере возрастания сложности цепи тензорный способ получает преимущество над прямым вычислением.

Другое важное достоинство вытекает из полного единообразия приемов описанного метода. Проиллюстрируем его на двух примерах цепей довольно простой структуры, для которых, однако, уже составление уравнений режима прямым методом было бы весьма затруднительно.

Пример 1. Приложим наш метод к цепи, изображенной на рис. 5.15.

а) Предположим, что ток, проходя по пути , встречает индуктивно связанные ветви. Причем конструкция такова, что одни ветви будут иметь согласное включение другие — встречное Поэтому нужна нумерация ветвей, указанная на рис. 5.15.

б) Число ветвей равно 8, число узлов 5, число простейших цепей 1. Число контуров, следовательно, равно 4.

В качестве независимых токов выберем Они указаны на рис. 5.16 (буква на данном и следующих рисунках опущена).

в) Остается вычислить токи ветвей как функции выбранных нами независимых токов. Результат такого вычисления показан на рис. 5.17.

Рис. 5.17.

Заметим, что независимый ток проходящий по ветви а. имеет направление Так как положительное направление тока будет то

То же относится к ветвям Сделав это замечание, мы можем написать выражения для токов ветвей как функции независимых токов. Запишем их в виде соотношений между значками, опуская букву Эти соотношения позволяют получить матрицу связи С:

г) Вычислим матрицы

(см. скан)

Искомая система уравнений — это

Пример 2. Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 5.18.

а) По конструкции она содержит некоторое количество индуктивно связанных ветвей Для тока, проходящего путь и для тока, проходящего путь имеем встречное включение. Отсюда проистекает нумерация ветвей, указанная на рис. 5.18.

б) Число ветвей равно 8, число узлов 4, число простейших цепей 1. Следовательно, число контуров равно 5. Пять выбранных независимых токов изображены на рис. 5.19.

в) Токи, протекающие по восьми ветвям, изображены на рис. 5.20.

(кликните для просмотра скана)

Выразим токи ветвей как функции пяти независимых токов. Имеем систему уравнений, из которой получим матрицу связи С:

Матрицы E и Z равны

г) Вычисление дает

(см. скан)

Искомая система уравнений — это