4.1.38. Дробная степень матрицы.

Рассмотрим для примера матрицу степени с двумя строками и двумя столбцами. Формула Сильвестра (12), примененная к функции дает

Это можно проверить и непосредственно. Действительно, возводя обе часта равенства в квадрат, получаем

В силу свойств матриц правая часть сводится к

что по формуле (12) тождественно а.

Подобной же проверкой нетрудно убедиться, что в качестве квадратного корня из матрицы а может быть взято любое из четырех выражений

В более общем виде можно показать, что существует корней степени из матрицы порядка при условии, что все собственные значения матрицы различны. Если это не так, то существует бесконечное множество корней. Действительно, отыщем квадратный корень единичной матрицы второго порядка (ее собственные значения совпадают). Имеем

откуда искомый квадратный корень равен либо I либо при условии, что Иначе говоря, получаем бесконечное множество решений.