7.8.2. Полиномы Эрмита.
Функция 
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Продифференцируем это уравнение 
раз. Тогда 
Следовательно, функция 
удовлетворяет уравнению
Положим 
При этом уравнение (196) приобретает вид
иначе говоря, становится уравнением (180) при 
Известно, что решение этого уравнения будет
Полином 
и полином 
удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению (181). Следовательно, они пропорциональны. Коэффициент пропорциональности равен 
Отсюда получается очень важная формула, которая может служить определением для полиномов Эрмита:
Мы видели выше, что 
удовлетворяет дифференциальному уравнению (196).
Умножая все члены этого уравнения на 
получаем в силу формулы (197):
Продифференцируем теперь формулу (197), написав ее для 
Тогда
Сравнивая формулы (198) и (199), получаем
Так как 
равно единице при 
то значения полиномов Эрмита и их первых производных при 
не отличаются от значений, найденных для соответствующих функций 
(формулы (191), (192)). Первые двенадцать полиномов Эрмита следующие:
Они отвечают общей формуле
