4.1.17. Необходимые условия равенства нулю произведения двух матриц.
Рассмотрим произведение двух квадратных матриц порядка 
имеющих ранги 
Можно доказать, что ранг 
матрицы произведения удовлетворяет неравенствам:
Пусть даны две квадратные матрицы 
порядка 
такие, что
В отличие от алгебры, где равенство 
влечет за собой одно из равенств 
или 
произведение двух матриц может быть нулевой матрицей и в случае, когда оба сомножителя отличны от нуля (точнее, от нулевой матрицы).
Пусть матрицы 
ненулевые. Если их произведение равно нулю, значит, равен нулю ранг 
матрицы этого произведения. Следовательно, в этом случае неравенства всегда удовлетворяются. Неравенство дает необходимое (но не достаточное) условие, которому должны удовлетворять ранги матриц-сомножителей.
Отсюда следует, что обе матрицы обязательно вырождены. Представим себе такой случай: матрица а вырождена, но один из ее миноров, составленный из 
строк и столбцов, не равен нулю. Тогда ранг а равен 
Так как ранг матрицы 
не равен нулю, то в силу предыдущего неравенства он может быть равен только единице. Но, как легко заметить, квадратная матрица может быть ранга 1 только в том случае, если все ее элементы пропорциональны. Следовательно, 
матрица 
обязательно имеет вид
Примеры.
где 
означает нулевую матрицу порядка 
.
