9.1.12. Формула Лапласа. Нормальный закон распределения (закон Лапласа — Гаусса).

Если использовать формулу Стерлинга для факториалов, то выражение (26) запишется в виде

Имеем

Отсюда

Формула (27) при сделанных допущениях позволяет приближенно найти вероятность того, что отклонение х имеет определенное значение (отличающееся от на целое число). Эта формула не симметрична относительно х, что происходит из-за членов, содержащих х в нечетных степенях. Заметив, что все эти члены содержат множитель можно сделать вывод, что если не слишком отличается от и если х не очень велико по сравнению с то эта формула приближенно симметрична.

При больших если учитывать только члены первого порядка малости относительно формула (27) примет вид

Можно ввести в эту формулу математическое ожидание или среднее квадратическое отклонение в результате чего получаем две эквивалентные формулы:

или

Величину - называют приведенным или относительным отклонением (она безразмерна). Величина — называется мерой точности. Она по размерности обратна случайной величине

Придадим или х, что одно и то же, два близких значения, отличающиеся на несколько единиц. Пусть эти два значения будут Разность между двумя соответствующими приведенными отклонениями и очень мала, если велико. Ее можно без заметной ошибки принять за дифференциал:

Вероятность того, что случайное значение приведенного отклонения заключается между будет равна вероятности того, что значение заключается между Иначе говоря,

Мы получили один из основных законов распределения, закон Лапласа — Гаусса, или нормальный закон, который представляет собой асимптотическую форму биномиального закона распределения для случая очень больших когда

Примечательно, что нормальный закон распределения зависит только от относительной переменной

Вероятность того, что случайное значение заключается между сильно отличающимися друг от друга значениями будет

где .

Биномиальный закон распределения, характеризуемый тремя параметрами, при помощи некоторых упрощающих допущений, к исследованию которых мы еще вернемся, заменен законом распределения с одной относительной переменной.

Кривая называемая кривой Гаусса, изображена на рис. 9.6. Вероятность того, что приведенное отклонение заключается между двумя любыми значениями равна площади криволинейной трапеции, заключенной между этой кривой, осью и двумя прямыми, параллельными оси Оу, пересекающими ось абсцисс в точках и Если разность стоянна, то эта вероятность будет наибольшей в том случае, когда значения и равны по величине и противоположны по знаку.. Наибольшую вероятность имеет нулевое отклонение. Вероятность того, что приведенное отклонение примет любое значение, очевидно, равна единице. Но эта вероятность равна

Как известно данный интеграл — интеграл Пуассона — равен это хорошо согласуется со всем изложенным выше.

Функция Лапласа (или интеграл вероятностей)

рассматривалась в п. 7.3.1 и последующих. К приведенной там числовой таблице следует добавить следующие значения, играющие особую роль в теории вероятностей:

(см. скан)

Рис. 9.6.

Если случайная величина представляет собой не приведенное отклонение а абсолютное отклонение х, то нормальный закон распределения принимает вид

Так как нормальный закон распределения симметричен, то

Среднее квадратическое отклонение в этом случае совпадает с корнем квадратным из момента второго порядка. Вычислим в общем виде момент

порядка (все моменты нечетных порядков в силу симметрии равны нулю). Интегрируя от нуля до бесконечности обе части тождества

получим

Отсюда при находим

и

Если бы мы взяли нормальный закон распределения в виде (33), то получили бы