4.1.28. Собственные значения, собственные векторы и характеристическое уравнение матрицы.
Дана матрица 
и вектор, отличный от нуля, представленный матрицей и. Если вектор и таков, что преобразования, которые выполняет над ним матрица а, сводятся к удлинению или сжатию, то он называется собственным вектором, его направление — собственным направлением и коэффициент его удлинения или сжатия X — собственным значением матрицы а. Это имеет место, если
или
Напишем это равенство в развернутом виде. Имеем 
соотношений
Так как по крайней мере одна из величин 
отлична от нуля, то определитель системы 
однородных линейных уравнений равен нулю:
Раскрыв определитель, получаем уравнение для вычисления собственных значений 
Оно называется характеристическим уравнением матрицы а.
Корень 
подставленный в систему уравнений, позволяет вычислить собственный вектор, иначе говоря, собственное направление, отвечающее этому собственному значению 
Пример. Дана матрица
Ее характеристическое уравнение
Оно имеет корни
Найдем собственное направление, соответствующее 
Подставляя в систему, получим 
Определитель этой системы равен нулю. Поэтому можно отбросить последнее уравнение и решать полученную систему по отношению к произвольной переменной, например, 
Отсюда и получаем собственное направление для 
Таким же образом можно найти собственные направления для 
