2.1.2. Разложение в ряд по ортогональным функциям.
Способ вычисления коэффициентов, описанный выше, может быть применен и в случае разложения в более общие ряды — в ряды по произвольной системе ортогональных функций.
Рассмотрим совокупность функций вещественной переменной
Если эти функции таковы, что
при 
то принято говорить, что функции 
образуют в промежутке 
ортогональную систему с весовой функцией 
Пусть дана функция 
удовлетворяющая условиям Дирихле. Она может быть представлена в виде бесконечной суммы ортогональных функций. т. е. ортогональным рядом вида
Чтобы вычислить коэффициент 
умножим обе части последнего равенства на 
и проинтегрируем в промежутке 
Согласно формуле (7) все интегралы справа исчезают, кроме
откуда
Например, для полиномов Чебышева промежуток равен 
а весовая функция будет 
(см. п. 7.9.3). В некоторых случаях весовая функция равна единице, например для полиномов Лежандра (см. п. 7.6.9).
Если кроме равенства (7) функции 
удовлетворяют условию 
то система называется ортонормированной.
Рис. 2.1.
Рис. 2.2.
Основная тригонометрическая система функций
как следует из формул 
ортогональна с весовой функцией, равной единице, но не ортонормирована.
