5.5.12. Пьезоэлектрические свойства кварца.

В кристалле кварца имеются следующие оси симметрии: ось третьего порядка — оптическая — и три оси второго порядка — электрические, расположенные в плоскости, перпендикулярной оптической оси, под углом в 120° друг к другу. Под механическими осями подразумевают три оси, каждая из которых перпендикулярна оптической и одной из электрических осей.

Примем оптическую ось за ось 3, а одну из электрических заось 1. Осью будет соответствующая механическая ось. Воспользуемся для определения независимых компонент пьезоэлектрического тензора формулами тензорного преобразования. Поворот на угол 180° вокруг оси 1 определяется матрицей

Единственный положительный член этой диагональной матрицы Мы уже отмечали, что для матриц преобразования координат, имеющих по одному члену в строке или столбце, символ суммы в формулах преобразования компонент тензоров исчезает. Поэтому

Члены, не содержащие индекса 1 или содержащие его дважды, уничтожаются. Действительно, например,

откуда следует, что Следовательно, не равны нулю только члены

Осуществим поворот на угол 120° вокруг оси 3. Этот поворот определяется матрицей

Заметим, что в матрицах все элементы, содержащие индекс 3, равны нулю, за исключением Поэтому в формулах преобразования компонент тензора, если индекс 3 не содержится в преобразуемой компоненте, он не появится и в соответствующей компоненте после преобразования. Это соображение позволяет написать формулы преобразования координат сначала для

Заменяя элементы матриц их значениями и заметив, что получим

откуда

Рассмотрение формул преобразования компонент, содержащих индекс 3, приводит к трем соотношениям:

и к системе уравнений

откуда получаем

Используя соответствие индексов для пространств и заметив, что аналогичный расчет приводит к таким же результатам для тензора можно составить две следующие матрицы:

Если раскрыть соотношения между поляризацией, напряжением и деформацией, мы получим для кварца в выбранной системе координат:

Эти системы позволяют сделать следующие выводы:

1. Любая деформация — сжатие или растяжение — вдоль оси или оси приводит к появлению поляризаций вдоль оси соответственно противоположных направлений.

2. Кручение вокруг осей создает поляризации соответственно вдоль осей

3. Любая деформация — сжатие или растяжение — вдоль оси 3 не создает никакой поляризации