5.1.8. Псевдоскаляры. Скалярная плотность и скалярная емкость.

Для примера рассмотрим в трехмерном пространстве антисимметричный по всем индексам трижды контравариантный тензор. Пусть его общая компонента. Подставив в выражение получим, что число существенных, отличных от нуля компонент будет равно 1. Если через обозначить общее абсолютное значение этих компонент, то они будут равны либо либо в зависимости от того, будут ли перестановки индексов четными или нечетными по отношению к начальной перестановке. Пусть, например, дана перестановка 123, т. е.

Как будет вести себя величина после преобразования координат?

После преобразования тензор не перестает быть ни антисимметричным, ни трижды контравариантным. Значит, он также будет иметь только одну отличную от нуля существенную компоненту. Если обозначить буквами с чертой сверху компоненты тензора после преобразования координат, то

Найдем соотношение между Применяем формулу преобразования координат для случая тройной кбнтравариантности:

Все элементы не равные нулю, имеют неодинаковые индексы, так как

Имеем Величина будет равна либо либо —1 в зависимости от того, будет ли четной или нечетной перестановкой чисел 123. Поэтому

Учитывая смысл знака заключаем, что сумма представляет

собой определитель

Следовательно,

Таким образом, перед нами величина только с одной существенной компонентой, но она тем не менее не является скаляром, так как после преобразования координат претерпевает изменение. Эта величина называется псевдоскаляром. В частном случае контравариантных индексов она называется скалярной емкостью.

Возьмем теперь также в трехмерном пространстве трижды ковариантный антисимметричный тензор третьей валентности

Повторяя предыдущие рассуждения и обозначив через величину компоненты можно получить формулу преобразования координат

Определитель который является определителем матрицы (3, равен Поэтому

Найденный нами псевдоскаляр подчиняется правилу преобразования, которое обратно правилу преобразования для псевдоскаляра типа емкости. Его называют скалярной плотностью.

Полученные результаты легко обобщить на -мерное пространство. Для раз ковариантного тензора можно прийти к понятию скалярной плотности

которая преобразуется по формуле

Для раз контравариантного тензора можно прийти к понятию скалярной емкости

которая преобразуется по формуле