10.2.2. Схема Горнера.
Эта схема позволяет удобно расположить вычисления при подстановке числа в полином. Даны полином
и некоторое значение
. Напишем очевидное равенство
где
некоторый полином степени
(частное от деления
на
:
Отсюда
Отождествление (7) и (9) дает
Если нужно вычислить при
значения не только
но и ее последовательных производных, построим по образцу
полиномы
определяемые тождествами
Последовательное дифференцирование дает
Следовательно,
Все свелось к нахождению величин
которое выполняется по тому же образцу, что и нахождение
Последовательно находятся величины
Вычисление производится механически, если расположить эти величины по приведенной здесь схеме Горнера:
Пример. Дан многочлен
Для
схема осуществляется так:
(см. скан)