10.3.10. Приближение полиномом, определенным с помощью критерия наименьших квадратов.

а) Эмпирическая функция. Здесь выбранные функции

и приближающая функция — полином

Следовательно, вместо того чтобы заменить график эмпирической функции, заданной точками, параболой степени, проходящей как раз через эти точки, можно выбрать параболу степени Такая парабола, естественно, не сможет пройти через эти точки и в действительности, как правило, не пройдет ни через одну из них, но будет определена требованием пройти возможно ближе к ним. Математически мы определим это условие требованием сделать наименьшей сумму квадратов ошибок. В точках получаем ошибки

Сумма квадратов ошибок равна

Условия для минимума даны уравнениями

Отсюда получается следующая система для определения

Если данные абсциссы являются равноотстоящими или, более общо, симметрично расположены вокруг центра тяжести, то полезно принять этот центр тяжести за новое начало координат. Это обратит в нуль суммы

Средняя величина квадрата ошибки равна

Пример. За эмпирическую функцию примем функцию, определенную четырьмя первыми строками таблицы п. 10.3.4 для функции Попробуем представить эту функцию параболой второй степени.

Помещаем начало координат в точку Эмпирическая функция определяется следующими данными:

Коэффициенты определяются системой

иначе говоря,

Отсюда

Парабола, которая представляет в среднем данную функцию, в промежутке между 1 и 1,3, есть

Средняя величина квадрата ошибки равна

б) Функция определена аналитически. Если функция определена аналитически и, кроме того, легко вычислить интегралы

то для определения полинома который может заменить в интервале функцию с наименьшим интегралом от квадрата ошибки, нужно действовать следующим образом. Ошибка в точке х будет

Интеграл от квадрата ошибки равен

Коэффициенты определяются условиями минимума т. е.

Отсюда получается система

Вычисления значительно упростятся, если промежуток интегрирования равен Перейдем к этому случаю с помощью замены переменной

Итак, нам нужно найти полином который наилучшим образом приближается в среднем к функции в промежутке между Положим

Так как

то система (36) принимает вид

Средняя величина квадрата ошибки равна Учитывая формулы (34) и (35) и систему (36), можем написать

Результат вычисления коэффициентов В и величин как

функции интегралов 1 для различных значений приведен в следующей таблице:

(см. скан)

Пример. Попробуем определить полином третьей степени, который в промежутке от 1 до 2 наиболее близок к функции Это можно свести к определению полинома

наиболее близкому к функции

в промежутке от —1 до 1. Имеем

Отсюда, пользуясь формулами предыдущей таблицы и значением ошибка которого не превосходит получаем

Имеем

Следовательно, средняя квадратичная ошибка (т. е. корень из средней величины квадрата ошибки) есть Итак, можно приближенно заменить функцию между 1 и 2 полиномом

Замечание. Рассмотренный способ вычисления в равной степени подходит и к случаю, когда функция — эмпирическая, заданная графиком. При этом интегралы вычисляются тоже графически.