7.5.19. Корни бесселевых функций.

В силу общих соображений, доказанных в п. 6.2.11, решение уравнения Бесселя (13) может иметь лишь простые корни (за исключением случая Два линейно независимых решения уравнения (13) не могут иметь общих корней, и корни эти взаимно разделены.

Сейчас мы докажем несколько теорем, относящихся к корням бесселевых функций для вещественных Теорема. Все корни вещественны.

Действительно, пусть комплексный корень. Он не может быть чисто мнимым, так как при этом все члены ряда

были бы положительны и функция не могла бы быть равна нулю. Он не может быть и комплексным. Действительно, пусть сопряженное комплексное число, которое также является корнем, потому что функция вещественная. Из формулы (38) имеем тогда

что дает для

Это равенство не может иметь места, так как величина под знаком интеграла существенно положительна.

Теорема. Корни взаимно разделены.

Из формул (36) и (37) получаем посредством дифференцирования

Первая формула показывает, что между двумя последовательными корнями имеется по крайней мере один корень

Вторая формула показывает, что между двумя последовательными корнями имеется по крайней мере один корень

Формула (31) показывает, что у функций нет общих корней, так как все корни функции простые. Повторное применение рекуррентных формул и формул, из них вытекающих, позволяет показать, что корни также взаимно разделены.

7.5.20. Кривые ... (рис. 7.14).

Рис. 7.14.

7.5.21. Поверхность z=f(x,v)=Jv(х) (рис. 7.15).

Поверхность показывает, как изменяются функции если непрерывно изменять переменные Для функция равна 1 при Это единственная функция Бесселя, имеющая при конечное значение, не равное нулю. Для все функции равны нулю при

Формулу (31) можно записать в виде

Разложим правую часть в ряд по х и рассмотрим член с низшей степенью х. Для малых значений х можно написать

Если то касательная горизонтальна в начале координат.

Если то т. е. касательная вертикальна в начале координат.

Если то т. е. касательная наклонна в начале координат.

Это изменение наклона касательной ясно видно на рис. 7.16. Функция конечно, функция единственные бесселевы функции первого рода, имеющие наклонную касательную в начале координат.

Рис. 7.15. (см. скан)

На рис. 7.16 подробно показана поверхность для значений заключенных между и значений х, заключенных между и Поверхность проведена до кривой, соответствующей первым корням функции при различных, значениях

Если отрицательно, то функции при равны в зависимости от знака ближайшее целое число, меньшее

Это не относится к целым значениям когда мы, в соответствии с формулой (22), имеем функцию, только знаком отличающуюся от

Рис. 7.16. (см. скан)

По мере того как принимает все большие положительные значения, кривые, представляющие функции, все более "лениво" отклоняются от оси абсцисс.

Рассмотрим, например, функцию Имеем

Функция отчетливо отклоняется от оси только при значениях х, близких к значению индекса.

Необходимо уточнить это важное свойство бесселевых функций, так как при разложении в ряд по бесселевым функциям бывает очень полезно определить номер, начиная с которого члены становятся пренебрежимо малыми.

Кривые на рис. 7.17 изображают наименьшие значения величины х, для которых

Для удобства графического изображения вместо отложены соответственно

Найдем, например, для каких значений х, заключенных между и будет меньше 0,001. График рис. 7.17 дает откуда

Рис. 7.17.

По мере возрастания х бесселевы функции колеблются вокруг оси и их отклонения от оси убывают обратно пропорционально Кривые рис. 7.18 дают абсолютные значения первых максимумов и минимумов в зависимости от порядка бесселевой функции.

7.5.22. Кривые (рис. 7.19).

7.5.23. Кривые (рис. 7.20).

7.5.24. Поверхность (рис. 7.21).