Функции Матье: 7.7.3. Разложение в ряд Фурье.

Функции Матье первого рода -периодичные решения (164) — естественно искать с помощью разложения их в ряд Фурье:

Подставим это разложение в уравнение (164). Тогда получим два рекуррентных соотношения одинакового вида: одно, связывающее три коэффициента А, другое — три коэффициента В, индексы которых отличаются на две единицы. Например, для коэффициентов А имеем

Отсюда находим четыре возможных разложения для функций Коэффициенты этих разложений, очевидно, зависят от значений поэтому они снабжены верхними индексами. Имеем

Теперь решения определены с точностью до постоянного множителя Чтобы фиксировать этот множитель, положим, по определению,

Эти условия аналогичны формулам, справедливым для круговых функций:

Отсюда получаем дополнительные соотношения

и

Замечание. Коэффициенты зависят от Если устремить к нулю, то из определений функций непосредственно следует

где символ Кронекера.