Функции Матье: 7.7.3. Разложение в ряд Фурье.
Функции Матье первого рода
-периодичные решения (164) — естественно искать с помощью разложения их в ряд Фурье:
Подставим это разложение в уравнение (164). Тогда получим два рекуррентных соотношения одинакового вида: одно, связывающее три коэффициента А, другое — три коэффициента В, индексы которых отличаются на две единицы. Например, для коэффициентов А имеем
Отсюда находим четыре возможных разложения для функций
Коэффициенты этих разложений, очевидно, зависят от значений
поэтому они снабжены верхними индексами. Имеем
Теперь решения
определены с точностью до постоянного множителя Чтобы фиксировать этот множитель, положим, по определению,
Эти условия аналогичны формулам, справедливым для круговых функций:
Отсюда получаем дополнительные соотношения
и
Замечание. Коэффициенты
зависят от
Если устремить
к нулю, то из определений функций
непосредственно следует
где
символ Кронекера.