8.3. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

8.3.1. Преобразование Лапласа.

Преобразование Карсона. Операционное исчисление рассматривает либо функции, связанные интегральным преобразованием Карсона

либо функции, связанные преобразованием Лапласа

Можно заметить, что между обеими функциями и связанными с этими формулами, имеется соотношение

Интегральное уравнение Карсона естественно входит в изучение электрических цепей. Мы, однако, будем пользоваться преобразованием Лапласа, согласно общему направлению, намечающемуся в международной технической литературе.

Мы записывали функциональное соотношение, определенное интегральным уравнением Карсона, в виде

В функциональном соотношении, определенном преобразованием Лапласа, следует пользоваться другим значком:

Говорят, что - "изображение" и, наоборот. это "оригинал" Следует отметить, что комплексная, вещественная переменные.

Если пользоваться преобразованием Лапласа, то соотношение (11) сохранится. Оно будет иметь вид

Но здесь (преобразование Лапласа).

Формула (12) показывает, что в случае преобразования Лапласа переходная реакция имеет вид

Теперь следует ответить на такой существенный вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция чтобы существовало изображение Для сходимости интеграла

необходимо и достаточно, чтобы

1) интеграл существовал при любом конечном

2) существовало такое число что

Рис. 8.5.

Рис. 8.6.

Ввиду того что проверка существования изображения по необходимому и достаточному условию, как правило, оказывается затруднительной, приведем достаточное условие, более удобное практически:

Если кусочно-непрерывна в любом конечном промежутке и существуют такие положительные числа что

то имеет изображение.

На протяжении гл. VIII Мы все время будем предполагать, что все рассматриваемые функции вещественной переменной имеют изображения. Рассмотрим несколько примеров.

Пусть Найдем изображение функции (рис. 8.5)

Имеем

Отсюда

Найдем изображение функции (множитель — единичная ступень — подразумевается). Эта функция представлена на рис. 8.6. Изображение

имеет вид

Этот интеграл легко вычисляется по частям:

Отсюда